2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 在区间
内随机抽取一个实数
，则事件“直线
与双曲线
的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（ ）
内随机抽取一个实数，则事件“直线与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（ ）| A．1 | B． | C． | D． |
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2 . 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径
为6，且与
轴交于点
．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点
处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线
与交于
，
两点，交
轴于点
，交轴于点
（点不与的顶点重合）．若
，
，试求出点所有可能的坐标．
为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
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3 . 在直角坐标系
中，圆Γ的圆心P在y轴上（
不与
重合），且与双曲线
的右支交于A，B两点．已知
．
(1)求Ω的离心率；
(2)若Ω的右焦点为
，且圆Γ过点F，求
的取值范围．
中，圆Γ的圆心P在y轴上（不与重合），且与双曲线的右支交于A，B两点．已知．(1)求Ω的离心率；
(2)若Ω的右焦点为
，且圆Γ过点F，求的取值范围．
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4 . （多选）若直线x＝t与双曲线
－y2＝1有两个交点，则t的值可以是（ ）
－y2＝1有两个交点，则t的值可以是（ ）| A．4 | B．2 | C．－3 | D．3 |
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5 . 若过原点的直线l与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A． | B． |
C． | D． |
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6 . 若直线y＝kx与双曲线
相交，则k的取值范围是
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解题方法
7 . 如图，由部分椭圆
和部分双曲线
，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有
两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为
．
的直线与相切于点
，求点的坐标及直线的方程；
(2)过的直线
与相交于点
三点，求证：
．
和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；(2)过
的直线与相交于点三点，求证：．
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8 . 已知双曲线C：
的右顶点为M，过点
的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为
，直线MB的斜率为
.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：
为定值，并求出该定值；
(3)求
的最大值.
的右顶点为M，过点的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：
为定值，并求出该定值；(3)求
的最大值.
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9 . 已知双曲线
的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．
(1)设O为坐标原点，求线段OP的长度；
(2)求证：PF平分
．
的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．(1)设O为坐标原点，求线段OP的长度；
(2)求证：PF平分
．
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10 . 已知点
在双曲线
上，直线交于，两点，直线
，
的斜率之和为0.求的斜率；
在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0.求的斜率；
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