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1 . 已知点在双曲线的一条渐近线上,为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点,求直线的方程;
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点,求证:.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点,求直线的方程;
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点,求证:.
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2 . 已知双曲线的右焦点为,过点的直线交双曲线于点,且的最小值为.
(1)求的方程;
(2)若均在的右支上且的外心落在轴上,求直线的方程.
(1)求的方程;
(2)若均在的右支上且的外心落在轴上,求直线的方程.
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3 . 已知双曲线为其右焦点,点到渐近线的距离为1,平行四边形的顶点在双曲线上,点在平行四边形的边上,则()
A. |
B. |
C.若平行四边形各边所在直线的斜率均存在,则其值均不为 |
D.四边形的面积 |
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4 . 人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的,以后人们又认为地球是个圆球.17世纪,牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论,这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实,之前中国就曾进行了大规模的弧度测量,发现纬度越高,每度子午线弧长越长的事实,这同地球两极略扁,赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体,椭球体的表面为椭球面,在空间直角坐标系下,椭球面,这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内,其中按其大小,分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点,过点分别作椭圆的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当时,椭球面围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点,过点分别作椭圆的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当时,椭球面围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
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5 . 在直角坐标系中,圆Γ的圆心P在y轴上(不与重合),且与双曲线的右支交于A,B两点.已知.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为,且圆Γ过点F,求的取值范围.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为,且圆Γ过点F,求的取值范围.
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6 . 已知双曲线:,F为双曲线的右焦点,过F作直线交双曲线于A,B两点,过F点且与直线垂直的直线交直线于P点,直线OP交双曲线于M,N两点.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若直线OP的斜率为,求的值;
(3)设直线AB,AP,AM,AN的斜率分别为,,,,且,,记,,,试探究v与u,w满足的方程关系,并将v用w,u表示出来.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若直线OP的斜率为,求的值;
(3)设直线AB,AP,AM,AN的斜率分别为,,,,且,,记,,,试探究v与u,w满足的方程关系,并将v用w,u表示出来.
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7 . 已知双曲线的离心率为,点分别是双曲线的左右焦点,过的直线交双曲线右支于P,A两点,点P在第一象限,当直线PA的斜率不存在时,.(1)求双曲线的标准方程;
(2)线段交圆于点B,记的面积分别为,求的最小值.
(2)线段交圆于点B,记的面积分别为,求的最小值.
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8 . 已知,动点满足与的斜率之积为定值.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与曲线交于 两点,且均在轴右侧,过点 作直线的垂线,垂足为.
(i)求证:直线过定点;
(ii)求面积的最小值.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与曲线交于 两点,且均在轴右侧,过点 作直线的垂线,垂足为.
(i)求证:直线过定点;
(ii)求面积的最小值.
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2024高二·全国·专题练习
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9 . 已知双曲线上两个不同的点A,B关于直线对称,求实数k的取值范围.
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10 . 双曲线:的左右焦点分别为,,两条渐近线分别为,,过坐标原点的直线与的左右两支分别交于,两点,为上异于,的动点,下列结论正确的是( )
A.若以为直径的圆经过,则 |
B.若,则或9 |
C.过点作的垂线,垂足为,若(),则 |
D.设,的斜率分别为,,则的最小值为2 |
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