1 . 点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．

(1)求双曲线的离心率；
(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；
(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 椭圆的左右焦点分别为，右顶点为为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中
(1)求椭圆的离心率的取值范围
(2)设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．

4 . 双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k₁，k₂，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．

5 . 已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．
①证明：直线过定点；
②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．

6 . 已知F₁（，0），F₂（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．

7 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x²+y²=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

8 . 已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.

9 . 已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．

(1)求双曲线方程．
(2)过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．

10 . 设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.