解题方法
1 . 三等分角是古希腊三大几何难题之一,公元3世纪末,古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题,如图,已知直线l:x=1与x轴交于点C,以C为圆心作圆交x轴于A,F两点,在直径AF上取一点B,满足,以A,B为顶点,F为焦点作双曲线D:,与圆在第一象限交于点E,则E为圆弧AF的三等分点,即CE为∠ACF的三等分线.
(1)求双曲线D的标准方程,并证明直线CE与双曲线D只有一个公共点.
(2)过F的直线与双曲线D交于P,Q两点,过Q作l的垂线,垂足为R,试判断直线RP是否过定点.若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
(1)求双曲线D的标准方程,并证明直线CE与双曲线D只有一个公共点.
(2)过F的直线与双曲线D交于P,Q两点,过Q作l的垂线,垂足为R,试判断直线RP是否过定点.若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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2 . 已知A( -3,0),B(3,0),四边形AMBN的对角线交于点D(1,0),kMA与kMB的等比中项为 ,直线AM,NB相交于点P.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若点N也在C上,点P是否在定直线上?如果是,求出该直线,如果不是,请说明理由.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若点N也在C上,点P是否在定直线上?如果是,求出该直线,如果不是,请说明理由.
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2022-02-21更新
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470次组卷
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3卷引用:福建省福州第一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题
名校
解题方法
3 . 已知直线与双曲线相交于M、N两点,双曲线C的左、右顶点分别为A、B,若直线AM与BN相交于点P,则下列说法正确的有______ (填写正确命题的序号)
①实数的取值范围为或;②直线AM与直线BN的斜率之积为定值;③点P在椭圆上;④三角形PAB的面积最大值为ab.
①实数的取值范围为或;②直线AM与直线BN的斜率之积为定值;③点P在椭圆上;④三角形PAB的面积最大值为ab.
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2022-02-08更新
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1769次组卷
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4卷引用:四川省内江市威远中学校2021-2022学年高二下学期第一次月考数学(文)试题
四川省内江市威远中学校2021-2022学年高二下学期第一次月考数学(文)试题(已下线)专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点1 圆锥曲线第三定义的应用安徽省示范高中2021-2022学年高三上学期冬季联赛理科数学试题(已下线)第八章 解析几何 专题9 圆锥曲线第三定义的应用 高中数学优质试题一题多解和变式训练
4 . 如图所示,已知是双曲线右支上任意一点,双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点,则__________ .
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5 . 已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左,右顶点,点是双曲线上任意一点(与两点不重合),记直线的斜率分别为,则( )
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为4 |
B.若双曲线的实半轴长,虚半轴长同时增加相同的长度,则离心率变大 |
C.为定值 |
D.存在实数使得直线与双曲线左,右两支各有一个交点 |
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2021·全国·模拟预测
6 . 在一张纸片上,画有一个半径为4的圆(圆心为M)和一个定点N,且,若在圆上任取一点A,将纸片折叠使得A与N重合,得到折痕BC,直线BC与直线AM交于点P.
(1)若以MN所在直线为轴,MN的垂直平分线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,求点P的轨迹方程;
(2)在(1)中点P的轨迹上任取一点D,以D点为切点作点P的轨迹的切线,分别交直线,于S,T两点,求证:的面积为定值,并求出该定值;
(3)在(1)基础上,在直线,上分别取点G,Q,当G,Q分别位于第一、二象限时,若,,求面积的取值范围.
(1)若以MN所在直线为轴,MN的垂直平分线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,求点P的轨迹方程;
(2)在(1)中点P的轨迹上任取一点D,以D点为切点作点P的轨迹的切线,分别交直线,于S,T两点,求证:的面积为定值,并求出该定值;
(3)在(1)基础上,在直线,上分别取点G,Q,当G,Q分别位于第一、二象限时,若,,求面积的取值范围.
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2021-12-29更新
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869次组卷
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3卷引用:江苏省扬州市邗江中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
名校
解题方法
7 . 如图,在平面直角坐标系中,分别为双曲线Г:的左、右焦点,点D为线段的中点,直线MN过点且与双曲线右支交于两点,延长MD、ND,分别与双曲线Г交于P、Q两点.
(1)已知点,求点D到直线MN的距离;
(2)求证:;
(3)若直线MN、PQ的斜率都存在,且依次设为k1、k2.试判断是否为定值,如果是,请求出的值;如果不是,请说明理由.
(1)已知点,求点D到直线MN的距离;
(2)求证:;
(3)若直线MN、PQ的斜率都存在,且依次设为k1、k2.试判断是否为定值,如果是,请求出的值;如果不是,请说明理由.
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2021-12-20更新
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1279次组卷
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5卷引用:上海市闵行区2022届高三上学期一模数学试题
上海市闵行区2022届高三上学期一模数学试题(已下线)重难点05 解析几何-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考专用)(已下线)押全国卷(理科)第20题 圆锥曲线-备战2022年高考数学(理)临考题号押题(全国卷)(已下线)专题19 圆锥曲线 (模拟练)-2上海市向明中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
8 . 已知双曲线C的中心在原点,是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设,M为双曲线右支上动点,当|PM|取得最小时,求四边形ODMP的面积;
(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点(A,B都不同于点D),求证:为定值.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设,M为双曲线右支上动点,当|PM|取得最小时,求四边形ODMP的面积;
(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点(A,B都不同于点D),求证:为定值.
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2021-12-05更新
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1278次组卷
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5卷引用:专题9-3 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)
(已下线)专题9-3 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)福建省永春第一中学2021-2022学年高二4月线上考试数学试题上海市嘉定区第二中学2022届高三上学期第二次质量检测数学试题(已下线)专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值问题大题专项训练(30道)-2021-2022学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)第3章 圆锥曲线的方程(基础、典型、易错、新文化、压轴)(3)
9 . 已知双曲线,点的坐标为,过的直线交双曲线于点.
(1)若直线又过的左焦点,求的值;
(2)若点的坐标为,求证:为定值.
(1)若直线又过的左焦点,求的值;
(2)若点的坐标为,求证:为定值.
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2021-11-05更新
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1530次组卷
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5卷引用:专题29 圆锥曲线求定值七种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)
(已下线)专题29 圆锥曲线求定值七种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)(已下线)专题4 圆锥曲线的综合应用-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】第3章 圆锥曲线与方程 单元检测卷(已下线)江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期教学质量调研(一)数学试题新疆乌鲁木齐第六十一中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题
10 . 设点A、F分别是双曲线的左顶点和右焦点,点P是双曲线右支上的动点.
(1)若是直角三角形,求点P的坐标;
(2)是否存在常数,使得对任意的点P恒成立?证明你的结论.
(1)若是直角三角形,求点P的坐标;
(2)是否存在常数,使得对任意的点P恒成立?证明你的结论.
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2021-09-25更新
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574次组卷
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3卷引用:专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)
(已下线)专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)高中数学解题兵法 第二十四讲 一般与特殊的转化与变换高中数学解题兵法 第九十一讲 进退自若