1 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．
   
(1)求证：直线过定点；
(2)设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围．

2 . 已知椭圆E：的左、右焦点分别为,焦距与短轴长均为4. 设过F₂的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q.
(1)证明：O,P,Q三点共线；
(2)过F₁作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求的取值范围.
参考结论：点T(,)为椭圆()上一点,则过点T(,)的椭圆的切线方程为.

3 . 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点距离为，若以k为斜率的直线l与椭圆C相交于两个不同的点A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值；
(3)若线段的垂直平分线过点，求k的取值范围．

4 . 已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.
(1)求的轨迹的方程；
(2)若过的直线分别交轨迹与和，且直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围.

5 . 如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求的取值范围．

6 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆：，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.

(1)若点为椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，，是椭圆的两相异点，且轴，求的取值范围.
(2)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，试判断，是否垂直？并说明理由.

9 . 已知椭圆的左、右焦点是,且以为直径的圆的面积为,点P是椭圆C上任一点,且的面积的最大值为．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求面积的取值范围．

10 . 已知椭圆）的左、右焦点分别为，离心率为为椭圆上的一个动点.面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设斜率存在的直线与的另一个交点为，是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.