1 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.

2 . 如图，矩形中， 分别为线段上的动点，且满足.点关于原点的对称点为，直线与交于点，则点到直线的最小距离为__________.
   

3 . 已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点．
(1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率；
(2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．

4 . 焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为．
(1)求的值；
(2)若的面积为1，求和的值；
(3)在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值．

5 . 椭圆上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线于D．当A在椭圆上运动时，总有，则该椭圆离心率e的最大值为_________．

6 . 直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（       ）

A．

B．当时，四边形为正方形

C．四边形面积的最大值为

D．若四边形为菱形，则

7 . 已知在△ABC中，以B为坐标原点，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a＝4，若．
(1)求A点的轨迹方程C；
(2)已知坐标原点为O，若过点的两条直线与C分别交于M，N两点，设，，两直线斜率分别为，且，连接M，N交x轴于点Q，△OMQ，△OMN面积分别为，，求的最大值．

8 . 已知椭圆的右焦点为，过点作不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点，点，在轴上，其中（为坐标原点），，点为直线，的交点，当点为椭圆的上顶点时，直线与直线垂直，则下列说法正确的是（       ）

A．椭圆的长轴长为

B．若点，则的最大值为

C．点的横坐标为

D．当的面积取得最大值时，直线的斜率为

9 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（       ）

A．若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为

B．若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是

C．若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是

D．若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是

10 . 如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．
   
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．