1 . 已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.

2 . 双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 设双曲线的焦距为6，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点.

4 . 双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k₁，k₂，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．

5 . 已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

6 . 已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点.
(1)求，的方程；
(2)设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.

7 . 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.

8 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.

9 . 已知双曲线：的离心率为，且过．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

10 . 已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.
(1)求双曲线的方程.
(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.