2 . 有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到6点朝上的概率为，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为，是的极大值点．
(1)求；
(2)若且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率；
(3)若且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了乙骰子的概率为，试问当取何值时最大？并求的最大值（精确到0.01）．(参考数据)

3 . 设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，两点间的距离．
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，．（注：当足够大时，）

4 . 泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作.
(1)设，且，求；
(2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.
（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；
（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.

5 . 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．

6 . 现有A，B两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．
(1)若，甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分布列与数学期望；
(2)若，从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，求：
（i）的概率；
（ii）的分布列．

7 . 一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，黑球2个，白球3个，分别从中两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回：方式二：依次无放回．则（       ）

A．按方式一，则摸出是同一种颜色球的概率为

B．按方式一，设摸出黑色球的个数为X，则方差

C．按方式二，已知共有两种不同颜色的球的条件下，则2白1黑的概率为

D．若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出2白1黑的概率为

8 . 某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检．已知每轮抽到A产品的概率为，每轮抽检中抽到B产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与B产品的件数的比例为k，单轮抽检中抽检的次数为x，则（       ）

A．若，则

B．当时，取得最大值

C．若一轮抽检中x的很大取值为M，

D．恒成立

9 . 孟德尔在观察豌豆杂交时发现了以下规律：豌豆的各种性状是由其遗传因子决定的. 以子叶颜色为例，豌豆的子叶分黄、绿两种颜色，其中黄色为显性性状，绿色为隐性性状. 我们用表示子叶为黄色的豌豆的遗传因子对，用表示子叶为绿色的豌豆的遗传因子对. 当这两种豌豆杂交时，父本的其中一个遗传因子与母本的其中一个遗传因子等概率随机组合，子一代的遗传因子对全部为，如图所示，其中为显性遗传因子，为隐性遗传因子. 当生物的遗传因子对中含有显性遗传因子时呈现显性性状，否则呈现隐性性状. 例如：均指示黄色子叶，指示绿色子叶. 我们称以上定律为孟德尔定律.

(1)若仅考虑子叶颜色，在子一代豌豆间进行相互交配得到存在不同遗传因子的子二代豌豆，继续在子二代豌豆中将含有相同遗传因子对的豌豆（如与）进行交配得到子三代豌豆，求子三代豌豆中子叶颜色为绿色的概率.
(2)已知人的单、双眼皮性状服从孟德尔定律，其中双眼皮是显性性状，记其遗传因子对为或；单眼皮是隐性性状，记其遗传因子对为. 若仅考虑眼皮性状，已知你的祖父、祖母和母亲的遗传因子对均为:
（ⅰ）在你是双眼皮的条件下，求父亲是单眼皮的概率；
（ⅱ）祖父和祖母育有伯父、父亲、叔父和姑母三子一女，除父亲外，其余三人均与单眼皮配偶婚配并各育有一子，求你及你的三代以内父系亲属（如图）中双眼皮人数的数学期望.

10 . 蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株．
(1)经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率；
(2)从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值；
(3)该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元）