1 . 为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（A，B，C）的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人，C部门4人.
(1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；
(2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

2 . 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：

毕业去向	继续学习深造	单位就业	自主创业	自由职业	慢就业
人数	200	560	14	128	98

假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
(1)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
(2)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
(3)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）

3 . 2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：

心理价位（元/件）	90	100	110	120
人数	10	20	50	20

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？

4 . 2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2:1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.
(1)若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率.
(2)设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望，并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？

5 . 考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？

7 . 3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，小明、小俊两人组队代表班级参赛，每一轮竞赛，小组中的两人分别答2道题，若两人回答正确的题目不少于3道，则该小组将被称为“神算小组”，已知小明每次答题正确的概率为，小俊每次答题正确的概率为，在答题过程中两人答题正确与否互不影响，且各轮结果亦互不影响．
(1)若，则在第一轮竞赛中，求小明、小俊组获得“神算小组”的概率；
(2)若，则在数学知识竞赛中，小明、小俊组要想获得“神算小组”的次数为5次，理论上至少要进行多少轮竞赛？并求此时的值．

8 . 从2019年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.
(1)记该地今后年中，恰好需要2次人工防治的概率为，求取得最大值时相应的概率；
(2)根据（1）中的结论，当取最大值时，记该地今后6年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望.

9 . 以下结论正确的是（       ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1

B．在检验A与B是否有关的过程中，根据数据算得的值，越小，认为“A与B有关”的把握越小

C．随机变量，若，，则

D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好

10 . 某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并根据直方图估计该市全体高中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
(2)将频率作为概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X，求X的分布列及数学期望.