1 . 观察下列等式：
，
，
，
，
，
，
，
．
可以推测，当时，，，_____，_____．

2 . 给个自上而下相连的正方形着色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：
   
由此推断，当时，黑色正方形互不相连的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有________种.（结果用数值表示）

3 . 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.
   
(1)求出；
(2)归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
(3)求证：.

4 . 古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四个四面体数，（已知）

观察上图，由此得出第5个四面体数为______（用数字作答）；第个四面体数为______.

5 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形1，3，6，10，…，第个三角形数为，记第个边形为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数；正方形；五边形数；六边形数.可以推测的表达式，由此计算__________.

6 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形，从而研究“多边形数”.如图甲的三角形数1，3，6，10，15，，第个三角形数为.又如图乙的四边形数1，4，9，16，25，…，第个四边形数为.以此类推，图丙的五边形数中，第个五边形数为________________.

7 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．1225既是三角形数，又是正方形数

C．

D．，总存在，使得成立

8 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．1225既是三角形数，又是正方形数

C．

D．，，总存在，，使得成立

9 . 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（       ）

（参考公式：）

A．1450

B．1490

C．1540

D．1580

10 . 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
   
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（     ）

A．289

B．1024

C．1225

D．1378