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解题方法
1 . 已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对任意的
，都有
，则称函数具有性质
(1)若函数具有性质
，求：
的值；
(2)设
，求证：存在常数，使得具有性质；
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数
在存在零点.
的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质(1)若函数
具有性质，求：的值；(2)设
，求证：存在常数，使得具有性质；(3)若函数
具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点.
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解题方法
2 . 已知函数
的定义域为
.若存在实数
，使得对于任意
，都存在
，使得
，则称函数具有性质
.
(1)分别判断：
及
是否具有性质
；（结论不需要证明）
(2)若函数的定义域为，且具有性质
，证明：“
”是“函数存在零点”的充分非必要条件；
(3)已知
，设
，若存在唯一的实数，使得函数
，
具有性质，求
的值.
的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质.(1)分别判断：
及是否具有性质；（结论不需要证明）(2)若函数
的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件；(3)已知
，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值.
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解题方法
3 . 若函数满足：对任意正数
，都有
，则称函数为“H函数”．
(1)试判断函数
与
是否为“H函数”，并说明理由；
(2)若函数
是“H函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数为“H函数”，
，对任意正数s、t，都有
，
，证明：对任意
，都有
．
满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．(1)试判断函数
与是否为“H函数”，并说明理由；(2)若函数
是“H函数”，求实数a的取值范围；(3)若函数
为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．
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4 . 若函数
的定义域为，且对于任意的
、，“
”的充要条件是“
”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数
，记
，
，
，…，
，其中
，2，3，…，并对任意的
，记集合
，并规定
.
(1)若
，函数的定义域为
，求
和
；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数
，使得对任意的
，
，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设
，若函数的定义域为
，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间
，存在正整数
，使得
.
的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.(1)若
，函数的定义域为，求和；(2)若函数
的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；(3)设
，若函数的定义域为，且表达式为：判断
是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.
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22-23高一上·全国·期中
5 . 已知集合
，对于
的一个子集
，若存在不大于
的正整数，使得对中的任意一对元素
，都有
，则称具有性质
．
(1)当
时，试判断集合
和
是否具有性质？并说明理由；
(2)当时
，若集合具有性质，
①判断集合
是否一定具有性质？并说明理由；
②求集合中元素个数的最大值．
，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．(1)当
时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；(2)当时
，若集合具有性质，①判断集合
是否一定具有性质？并说明理由；②求集合中
元素个数的最大值．
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6 . 已知函数
，不妨记函数的零点分别为
，其中为正整数，且
.
(1)若
，写出的单调减区间；
(2)若
，且
，求
的值；
(3)若
，且
，求
的最大值.
，不妨记函数的零点分别为，其中为正整数，且.(1)若
，写出的单调减区间；(2)若
，且，求的值；(3)若
，且，求的最大值.
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解题方法
7 . 在上非严格递增，满足
，若存在符合上述要求的函数及实数
，满足
，则的取值范围是__________ .
在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是
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2023-03-06更新
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1226次组卷
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4卷引用：上海市2023届高三模拟数学试题
上海市2023届高三模拟数学试题（已下线）考点2 分段函数 2024届高考数学考点总动员【练】山东师范大学附属中学幸福柳分校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题广东省珠海市第一中学2024届高三上学期期末模拟数学试题（三）
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8 . 已知一个正方形
的四个顶点都在函数
的图象上，则此正方形的面积为__ ．
的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为
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2023-03-06更新
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576次组卷
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2卷引用：上海市奉贤区曙光中学2022届高三上学期12月月考数学试题
解题方法
9 . 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有
，则称函数
具有性质
.
(1)分别判断函数
与
是否具有性质
，并说明理由；
(2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数；
(3)已知
为给定的正实数，若函数
具有性质，求的取值范围.
的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.(1)分别判断函数
与是否具有性质，并说明理由；(2)已知
为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数；(3)已知
为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.
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10 . 若定义在区间
上的函数满足：存在常数
，使得对任意的
，都有
成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.
(1)判断函数
，和
（
为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）
(2)求函数
的全变差；
(3)证明：函数
是
上的有界变差函数.
上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.(1)判断函数
，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数
的全变差；(3)证明：函数
是上的有界变差函数.
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