1 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.

2 . 已知函数.
(1)判断函数在上的单调性（只判断不必证明)；
(2)结合（1）中的判断，若存在，且，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.

3 . 已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若，证明：．

4 . 设常数，函数.
(1)当时，判断并证明函数在的单调性；
(2)当时，若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围.

5 . 已知函数.
(1)求的值；
(2)设函数，证明：在上有唯一零点.

6 . 设，函数．
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若，写出函数的单调区间（不必证明）；
(3)若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．

7 . 已知函数．
(1)设．
①判断在上的单调性，并用定义证明；
②判断在上是否存在零点．
(2)当时，讨论零点的个数．

8 . 已知函数.
(1)判断的奇偶性；
(2)说明的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若方程在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围.

9 . 已知二次函数（且），其对称轴为，函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，求函数在区间上的最小值和最大值；
(3)若函数有两个零点，，且，求证：．

10 . 已知函数为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．