1 . 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求：

(1)求堑堵的侧棱长；
(2)求阳马的体积；
(3)求阳马的表面积．

2 . 已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．

(1)若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值:
(2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
(3)若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值.

3 . 在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，

(1)说明所得几何体的结构特征；
(2)求所得几何体的表面积和体积．

4 . 如图，在平面四边形中，，，，，.

(1)求点到所在的直线的距离；
(2)以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积.

5 . 如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，.若，直线与所成的角为，求二面角的大小.

6 . 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

   

(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.

7 . 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．

   

(1)求旋转体的表面积；
(2)求旋转体的体积；
(3)求图中所示圆锥的内切球体积．

8 . 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

   

(1)如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积.
(2)如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积.
(3)将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.

9 . 已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为.

(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.

10 . P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小.