1 . 在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列．

2 . 若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列.
(1)若为调和数列，证明数列是等差数列；
(2)调和数列中，，，前项和为，求证：.

3 . 已知数列满足，，.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

4 . 已知正项数列满足且.
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）证明：数列的前项和.

5 . 已知为数列的前项和，，且.
（1）证明数列是等差数列，并求其前项和；
（2）设数列满足，求证：.

6 . 若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
(2)记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；
(3)记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.

7 . 设数列的前n项和为，，.
(1)证明：为等比数列.
(2)若，，求数列的前n项和.

8 . 已知函数.
(1)求的最小值；
(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.

9 . 已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.

10 . 已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.