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解题方法
1 . 对于数列
，如果存在等差数列
和等比数列
，使得
，则称数列是“优分解”的．
(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
(2)记
，证明：如果数列是“优分解”的，则
或数列
是等比数列．
(3)设数列的前
项和为
，如果和
都是“优分解”的，并且
，求的通项公式．
，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．(1)证明：如果
是等差数列，则是“优分解”的．(2)记
，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．(3)设数列
的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．
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2 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知
，
，
分别是三个内角
，
，
的对边，且
，若点
为的费马点，
，则实数
的取值范围为________ .
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为
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3 . 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且
，
，
．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设
数列的前n项和为
，求证：
；
(3)
表示不超过x的最大整数，
；
求（i）
；
（ii）
．
是正项等比数列，是等差数列，且，，．(1)求数列
和的通项公式；(2)设
数列的前n项和为，求证：；(3)
表示不超过x的最大整数，；求（i）
；（ii）
．
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解题方法
4 . 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设
表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆
的劣弧
的弧长分别记为
，曲面
（阴影部分）叫做曲面三角形，
，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面
．设
，则下列结论正确的是（ ）
的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为 的等边三角形，则 |
B．若 ，则 |
C．若 ，则球面的体积 |
D．若平面为直角三角形，且 ，则 |
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5 . 在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得
，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列
是公差为p的等差整数数列，
为q除
所得的余数，为数列
的前n项和.
(1)若
，
，
，求
；
(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同；
(3)证明：
为完全平方数.
，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和.(1)若
，，，求；(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列
的前q项中任意两项均不相同；(3)证明：
为完全平方数.
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解题方法
6 . 数列的前项和为，
，若
对任意
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
的前项和为，，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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解题方法
7 . 数列的前项和为
，则
可以是（ ）
的前项和为，则可以是（ ）| A．18 | B．12 | C．9 | D．6 |
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昨日更新
|
1004次组卷
|
4卷引用：浙江省温州市2024届高三第三次适应性考试数学试题
8 . 若无穷项数列满足
（
，
，为常数，
且
），则称数列为“
数列”.
(1)设
，
，若首项为1的数列为“
数列”，求
；
(2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和；
(3)设，，若首项为1的数列为“
数列”，记数列的前项和为，求所有满足
的值.
满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”.(1)设
，，若首项为1的数列为“数列”，求；(2)若首项为1的等比数列
为“数列”，求数列的通项公式及前项和；(3)设
，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值.
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2024·全国·模拟预测
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9 . 设
为实数
中最大的数．若，
，则
的最小值为______ ．
为实数中最大的数．若，，则的最小值为
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，则称数列
．探究
和
的值是否唯一；
