1 . （1）已知，求证；
（2）利用（1）的结论，证明：（且）.

2 . 记首项为1的递增数列为“-数列”．
(1)已知正项等比数列，前项和为，且满足：．求证：数列为“-数列”；
(2)设数列为“-数列”，前项和为，且满足．（注：）
①求数列的通项公式；
②数列满足，数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：）

3 . （1）设，用反证法证明：若，则或．
（2）设，比较与的值的大小．

4 . 已知E，F分别为的重心和外心，D是BC的中点，，．
   
(1)求BE；
(2)如图，P为平面ABC外一点，平面ABC，二面角的正切值为4．
①求证：；
②求三棱锥的外接球的体积．

5 . 从条件①，②中选择一个，补充在下列横线中，并解答问题．
如图，在直三棱柱中，点在线段上，已知______，且，，．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．

6 . 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.

7 . 已知函数．
(1)若，判断的零点个数，并说明理由；
(2)记，求证：对任意，均有．

8 . 对于函数，记，，，…，，其中.
(1)若函数是一次函数，且，求的最小值；
(2)若，且，求；
(3)设函数（），记，，若，证明：.

9 . （1）设，，比较，的大小；
（2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：.

10 . 如图所示的矩形中，分别为线段上的动点.

(1)若为靠近的三等分点，为的中点，且，求的值；
(2)若是边长为1的正三角形.
（i）令、、的面积分别为，，，证明：；
（ii）求矩形面积的最大值.