1 . 已知函数，.
(1)求的单调区间和极小值；
(2)证明：当时，.

2 . 已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．

3 . 已知函数．
(1)求的最小值；
(2)设，证明：

4 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.
(1)求的标准方程；
(2)直线交直线于点，证明：，，三点共线.

5 . 已知椭圆的离心率为，点在上.
(1)求的方程；
(2)若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值.

6 . 已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.

7 . 已知椭圆：的三个顶点构成边长为4的等边三角形．
(1)求的标准方程；
(2)已知直线的倾斜角为锐角，分别与轴、轴相交于点，，与相交于，两点，且为线段的中点，关于轴的对称点为，直线与的一个交点为．
（i）证明：直线与的斜率之比为定值；
（ii）当直线的倾斜角最小时，求的方程．

8 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.

9 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：方程在上有且只有一个解；
(3)设点，，，若对任意，，都有经过，的直线斜率大于，求实数的取值范围．

10 . 已知函数.
(1)若在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若存在两个极值点，.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.