1 . 椭圆的离心率为且四个顶点构成面积为的菱形.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，记椭圆的右顶点为，直线，与直线交于，两点，求证:以为直径的圆恒过点.

2 . 已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

4 . 已知椭圆的左、右焦点，，是椭圆上的动点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证：以为直径的圆与直线恒相切.

5 . 已知点、分别在轴、轴上，，．
（1）求的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线、，与曲线分别交于、（不同于点）两点，求证：直线过定点．

6 . （1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

7 . 已知函数的最小值为2.
（1）求a的值以及f（x）的单调区间；
（2）设，n∈N^*，证明：.

8 . 设函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ae^x（a∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线也与曲线y＝g（x）相切，求a的值．
（2）若函数G（x）＝f（x）﹣g（x）存在两个极值点．
①求a的取值范围；
②当ae²≥2时，证明：G（x）＜0．

9 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF₁⊥F₁F₂时，|PF₂|＝2|PF₁|．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．

10 . 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若，证明：当时，．