1 . 已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
.(1)讨论
的单调性；(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
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2024-05-15更新
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682次组卷
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2卷引用：山东省烟台市2024年高考适应性练习（二模）数学试题
2 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
和
，使得
成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．
(1)证明：当
时，函数
是“跃然”函数；
(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．(1)证明：当
时，函数是“跃然”函数；(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
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解题方法
3 . 已知抛物线
的准线方程为
，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）| A．以AF为直径的圆与y轴相切 |
B．设 ，则 周长的最小值为4 |
C．若 ，则直线l的斜率为 或 |
D．x轴上存在一点N，使 为定值 |
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解题方法
4 . 定义：函数
满足对于任意不同的
，都有
，则称为
上的“
类函数”．
(1)若
，判断是否为
上的“2类函数”；
(2)若
为
上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为
上的“2类函数”，且
，证明：
，
，
．
满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．(1)若
，判断是否为上的“2类函数”；(2)若
为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；(3)若
为上的“2类函数”，且，证明：，，．
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解题方法
5 . 若函数
与
在区间
上恒有
，则称函数为
和
在区间上的隔离函数.
(1)若
，判断是否为和在区间上的隔离函数，并说明理由；
(2)若
，且
在
上恒成立，求的值；
(3)若
，证明：
是为和在
上的隔离函数的必要条件.
与在区间上恒有，则称函数为和在区间上的隔离函数.(1)若
，判断是否为和在区间上的隔离函数，并说明理由；(2)若
，且在上恒成立，求的值；(3)若
，证明：是为和在上的隔离函数的必要条件.
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6 . 已知椭圆
的右焦点为
，其四个顶点的连线围成的四边形面积为
；菱形
内接于椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)（ⅰ）坐标原点
在边
上的投影为点
，求点的轨迹方程；
（ⅱ）求菱形面积的取值范围．
的右焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为；菱形内接于椭圆．(1)求椭圆
的标准方程；(2)（ⅰ）坐标原点
在边上的投影为点，求点的轨迹方程；（ⅱ）求菱形
面积的取值范围．
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解题方法
7 . 已知双曲线
的两条渐近线分别为
和
，右焦点坐标为
为坐标原点.
(2)直线
与双曲线的右支交于点
（
在
的上方），过点分别作
的平行线，交于点
，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点
（
在
的上方），再过点分别作的平行线，交于点
，这样一直操作下去，可以得到一列点
.
证明：①
共线；
②
为定值
.
的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
(2)直线
与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.证明：①
共线；②
为定值.
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8 . 定义：设
和
均为定义在
上的函数，其导函数分别为
，
，若不等式
对任意
恒成立，则称和为区间上的“友好函数”．
(1)若
和
是“友好函数”，求
的取值范围；
(2)给出两组函数：①
，
；②
，
，分别判断这两组函数是否为
上的“友好函数”．
和均为定义在上的函数，其导函数分别为，，若不等式对任意恒成立，则称和为区间上的“友好函数”．(1)若
和是“友好函数”，求的取值范围；(2)给出两组函数：①
，；②，，分别判断这两组函数是否为上的“友好函数”．
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解题方法
9 . 已知函数
．
(1)求函数在区间
上的极值点的个数．
(2)“
”是一个求和符号，例如
，
，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当
时，
，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当时，对
，都有
；
（ii）
．
．(1)求函数
在区间上的极值点的个数．(2)“
”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．证明：（i）当
时，对，都有；（ii）
．
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解题方法
10 . 已知曲线
为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线
关于直线
成轴对称图形；
②经过坐标原点的直线
与曲线有且仅有一个公共点；
③直线
与曲线所围成的图形的面积为
；
④设直线
，当
时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______ ．
为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线
关于直线成轴对称图形；②经过坐标原点
的直线与曲线有且仅有一个公共点；③直线
与曲线所围成的图形的面积为；④设直线
，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是
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