2 . 已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；
(3)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.

3 . 已知函数.
(1)当时，判断在区间上的单调性；
(2)当时，若，且的极值在处取得，证明：.

4 . 如图所示，已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．

(1)若直线的斜率为，求直线的斜率．
(2)是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

5 . 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．

6 . 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知函数，，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数

8 . 已知椭圆，，为其左右焦点，动直线l为此椭圆的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则S的取值范围为_____________．

9 . 已知
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，若当时，有三个不同的零点，求实数的最小值．

10 . 已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；
(3)若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．