1 . 已知抛物线的焦点为，过的所有弦中，最短弦长为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上有异于顶点的两点，，过，分别作的切线，记两条切线交于点，连接，，，求证：.

2 . 已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，若有两个相异零点，，求证：．

3 . 在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当时，记动点M的轨迹为曲线C，过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P（异于原点O），过点P作圆的切线交C于另一点Q，证明：为定值．

4 . 已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，证明：.

5 . 设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．

6 . 已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.

7 . 已知函数，，若在处取得极小值．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：．

8 . 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．

9 . 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明对任意，恒成立．

10 . 已知直线交抛物线于两点．
（1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值；
（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆．