1 . 对于非空集合
,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”
,简记为
.而判断
是否为一个群,需验证以下三点:
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意
,都须满足
;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意
,都须满足
;
3.(恒等元)存在
,使得对任意
,
;
4.(逆的存在性)对任意
,都存在
,使得
.
记群
所含的元素个数为
,则群
也称作“
阶群”.若群
的“×”运算满足交换律,即对任意
,
,我们称
为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群
;
(2)记
为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得
在该运算下构成一个群
,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群
是否都是阿贝尔群?请说明理由.
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1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/830afd1befcf1a92874b5e0bc214578d.png)
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/44d2d88c195317bf5827a1304068f26a.png)
3.(恒等元)存在
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/572f76c63e3a74a90a1e6ca5ae401cf8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/96e4c22a6a498e197149ce29d9e98fce.png)
4.(逆的存在性)对任意
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记群
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9f2eb65f2fe6546a5e318343d25fe66.png)
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(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群
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(2)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d719c0c82f38a886db86c71bbaf8db32.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d719c0c82f38a886db86c71bbaf8db32.png)
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(3)所有阶数小于等于四的群
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名校
解题方法
2 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.形如
的数称为复数,其中
称为实部,
称为虚部,i称为虚数单位,
.当
时,
为实数;当
且时,
为纯虚数.其中
,叫做复数
的模.设
,
,
,
,
,
,
如图,点
,复数
可用点
表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,
轴叫做实轴,
轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.一般地,任何一个复数
都可以表示成
的形式,即
,其中
为复数
的模,
叫做复数
的辐角,我们规定
范围内的辐角
的值为辐角的主值,记作
.
叫做复数
的三角形式.
,
,求
、
的三角形式;
(2)设复数
,
,其中
,求
;
(3)在
中,已知
、
、
为三个内角
的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①
;
②
,
,
.
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e472aea001d179c284e3687a9aacf384.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ec04f844e8fd9d9b1ef835e23eaa54e2.png)
(2)设复数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/398d8980d3ec9fbf536a1efa6312a19a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0492634f27279b6470798af0185be67.png)
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(3)在
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/071a7e733d466949ac935b4b8ee8d183.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24e0c10fb103930eabd5fa18e8f9bb06.png)
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1501d4035822b34fcc2378f1e316f159.png)
②
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e63471f592531e46277365ed319e2acc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b923694c299d953e02cb79dfcef9f56a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a5ce2f54d69a5987c1de19da53342811.png)
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
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2024-03-12更新
|
583次组卷
|
4卷引用:黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一下学期3月月度质量检测数学试题(已下线)模块五 专题六 全真拔高模拟2(已下线)第七章:复数(新题型)-同步精品课堂(人教A版2019必修第二册)
解题方法
3 . 设
是虚数,
是实数且
.
(1)求
的值以及
实部的取值范围;
(2)若
,求证:
为纯虚数.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/af68f652b4c13657ffddf3c9e7eb262b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/174ce5fa8bd9b7c64f634c73f8e1c238.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5fc19635488613e74ef7d770adcf9154.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8d8b3f66119c2ce542984d12eb2b6b77.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/af68f652b4c13657ffddf3c9e7eb262b.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/caf365042ac7c12643eac7c75a0fafad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/074c228ffc7b1e306f8410afe7bc4b5c.png)
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解题方法
4 . 已知虚数z满足
.
(1)求证:
在复平面内对应的点在直线
上;
(2)若
是方程
的一个根,求
与
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/128cf2d830a0be68857f24280da22895.png)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/77fe88a4d87ed5872ebb847412619ab7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d77f5191798242b7b9b88a75e17e4425.png)
(2)若
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1e51427c2d933bb6466973b44dd9627.png)
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2023-03-27更新
|
628次组卷
|
4卷引用:河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题河北省承德市重点高中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(已下线)12.3 复数的几何意义(2)-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版2020必修第二册)江西省赣州市大余县九师联盟联考2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
10-11高二下·河南郑州·阶段练习
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解题方法
5 . 设
是虚数,且
满足
.
(1)求
的值及
的实部的取值范围;
(2)设
,求证:
为纯虚数;
(3)求
的最小值.
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(1)求
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(2)设
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(3)求
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2022-03-21更新
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1226次组卷
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25卷引用:2010-2011年河南省郑州市第47中学高二下学期第一次月考数学文卷
(已下线)2010-2011年河南省郑州市第47中学高二下学期第一次月考数学文卷(已下线)2012年苏教版高中数学选修2-2 3.2复数的四则运算练习卷(已下线)2013-2014学年江西省吉安一中高二下学期期中考试文科数学试卷河南省兰考县第二高级中学人教版高二数学选修2-2单元测试:第三章数系的扩充与复数的引入黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修1-2同步练习:滚动习题第三章 数系的扩充与复数的引入[范围3.1~3.2]上海市宝山区宝山中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题人教A版(2019) 必修第二册 过关斩将 第七章 7.3 复数的三角表示沪教版(上海) 高二第二学期 新高考辅导与训练 第13章 复数 本章复习题(已下线)专题59 复数(同步练习)-2021年高考一轮数学(文)单元复习一遍过(已下线)专题65 复数(同步练习)-2021年高考一轮数学单元复习一遍过(新高考地区专用)(已下线)专题65 复数(同步练习)-2021年高考一轮数学(理)单元复习一遍过江苏省新区实验2020-2021学年高一下学期期中数学试题重庆市第八中学2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题江苏省苏州市实验中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(已下线)专题7.3 复数 章末检测3(难)-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷(人教A版2019必修第二册)(已下线)第七章 复数(基础训练)A卷-2021-2022学年高一数学课后培优练(人教A版2019必修第二册)苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第12章 本章达标检测沪教版(2020) 一轮复习 堂堂清 第六单元 6.4 复数的运算天津市第四十二中学2019-2020学年高一下学期期中理科数学试题广东省广州市真光中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题3.2复数的四则运算(已下线)专题11+复数的四则运算(2)-《重难点题型·高分突破》(人教A版2019必修第二册)陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高一下学期第一次月考(3月)数学试题(已下线)7.3复数的三角表示——课后作业(提升版)(已下线)7.3复数的三角表示——课后作业(巩固版)
6 . 对于函数
,分别在
处作函数
的切线,记切线与
轴的交点分别为
,记
为数列
的第n项,则称数列
为函数
的“切线-
轴数列”,同理记切线与
轴的交点分别为
,记
为数列
的第n项,则称数列
为函数
的“切线-
轴数列”
(1)设函数
,记
“切线-
轴数列”为
,记
为
的前n项和,求
.
(2)设函数
,记
“切线-
轴数列”为
,猜想
的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数
均为不为0的实数,记
为
的共轭复数,设
,记
“切线-
轴数列”为
,求证:对于任意的不为0的实数
,总有
成立.
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(1)设函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d8ef5756fec38d1b4dc62358b45c3352.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63d471926f7b27322d90c82b9ce21d3d.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08eb71ecf8d733b6932f4680874dbbf3.png)
(2)设函数
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(3)设复数
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2024-01-01更新
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443次组卷
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7卷引用:上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题(已下线)模块一专题1【练】《导数的概念、运算及其几何意义》单元检测篇B提升卷(人教A2019版)(已下线)模块二 专题1 与曲线的切线相关问题(已下线)模块二 专题3 与曲线的切线相关问题(人教B版)(已下线)模块一 专题1 《导数的概念、运算及其几何意义》B提升卷(苏教版)(已下线)模块二 专题1 与曲线的切线相关问题(苏教版高二)(已下线)模块二 专题4 与曲线的切线相关问题(高二北师大版)
解题方法
7 . 设M是由复数组成的集合,对M的一个子集A,若存在复平面上的一个圆,使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上,且
中的数对应的点都在圆外,则称A是一个M的“可分离子集”.
(1)判断
是否是
的“可分离子集”,并说明理由;
(2)设复数z满足
,其中
分别表示z的实部和虚部.证明:
是
的“可分离子集”当且仅当
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33a2a51a8d747c5a61f259a3ddf3bd0e.png)
(1)判断
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4e6670f3947ae0329e5d9788b96c50f8.png)
(2)设复数z满足
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c86a4bfb6dd4bafcbe3c5c1aaead277.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aff32d9320e0d72844f155f5c2acedb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/739598c5b7f2c8a97353a987b7392536.png)
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8 . 设z是虚数,ω=z+
是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设μ=
,求证:μ为纯虚数.
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(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设μ=
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d118f4efc2e2cacc57214699d05597c5.png)
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2022-02-22更新
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912次组卷
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10卷引用:2014-2015学年河南实验中学高二下学期期中理科数学试卷
2014-2015学年河南实验中学高二下学期期中理科数学试卷河北省唐山市玉田县2018-2019学年高二下学期期中数学(文)试题江苏省宿迁市宿豫中学2019-2020学年高二(奥赛班)下学期4月月考数学试题山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一5月摸底考试数学试题(已下线)【新教材精创】10.2.2复数的乘法与除法练习(2)(已下线)3.2 复数的四则运算(已下线)期中模拟卷-2021-2022学年高一数学链接教材精准变式练(人教A版2019必修第二册)(已下线)第12章 复数(综合测试卷)-2021-2022学年高一数学10分钟课前预习练(苏教版2019必修第二册)(已下线)专题02 复数的四则运算-2021-2022学年高一《新题速递·数学》(人教A版2019)湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 现定义“
维形态复数
”:
,其中
为虚数单位,
,
.
(1)当
时,证明:“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系;
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,求
的值;
(3)若正整数
,
,满足
,
,证明:存在有理数
,使得
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9dc4e868a310c371ff88075d8a966a6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef9d830212489b316bb052455098108e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a7035cd4adda5d72a9fc9f9fda75995.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48f093c61867ee4ce75f951d46b9b123.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/edc8299790d98621b87e73212a2ebb91.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/905dd10639c9fef5ef8d66a124756140.png)
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c136aaf9b5dedec254a92ce302f4a70c.png)
(3)若正整数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94742ebbb028c50d7a58e3e8f4ab329c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35490c12e57ecd91af9934cb17b5c927.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ed110fbfeb14003270a1039ba174d0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9aa8a716a31b0f51b70fdf9bdb257909.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f02f2606180ffeda602ff9ae747af6f.png)
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2024-05-11更新
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564次组卷
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3卷引用:安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题
20-21高一·上海·课后作业
解题方法
10 . 设
,
.
(1)求证:
是纯虚数;
(2)求
的取值范围.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3530145c747364c6806a86fe8115ac9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b70c2519610d6d1d6d0855b0f27dfc5e.png)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/50022880238a0e8cfeae42bb9e2e26ff.png)
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb7aa1b1bdc5fe62409b51692793c743.png)
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2021-04-24更新
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1430次组卷
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8卷引用:第15讲 复数及其四则远算(练习)-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义(沪教版2020必修第二册)
(已下线)第15讲 复数及其四则远算(练习)-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义(沪教版2020必修第二册)(已下线)专题04 复数【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习(新人教B版2019)(已下线)专题04 复数-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习(北师大版2019必修第二册)(已下线)3.2 复数代数形式的四则运算(重点练)-2020-2021学年高二数学(文)十分钟同步课堂专练(人教A版选修1-2)(已下线)3.2 复数代数形式的四则运算(重点练)-2020-2021学年高二数学(理)十分钟同步课堂专练(人教A版选修2-2)浙江省杭州市实验外国语学校2020-2021学年高二下学期期中数学试题(已下线)第9章 复数(章节压轴题专练)-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车(沪教版2020必修第二册)苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第12章 12.3 复数的几何意义