1 . 设
为非负数，求证：
.
为非负数，求证：.
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2 . 求正整数n的最大值，使得对任意一个以
为顶点的n阶简单图，总能找到集合
的n个子集
，满足：
当且仅当
与
相邻.
为顶点的n阶简单图，总能找到集合的n个子集，满足：当且仅当与相邻.
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3 . 一束直线
的每条均过xOy平面内的抛物线
的焦点，
与抛物线C交于点
、
.若
的斜率为1，
的斜率为
，求
的解析式.
的每条均过xOy平面内的抛物线的焦点，与抛物线C交于点、.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式.
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4 . 设
表示k个数字均为1的十进制数(如
=1，
=111)，定义
．
（1）对于任意正整数m、n，令
，写出一个关于f(m,n)的递推关系式，并证明之；
（2）证明：对于任意正整数m、n,{m+n}!均可以被{m}!.{n}!整除．
表示k个数字均为1的十进制数(如=1，=111)，定义．（1）对于任意正整数m、n，令
，写出一个关于f(m,n)的递推关系式，并证明之；（2）证明：对于任意正整数m、n,{m+n}!均可以被{m}!.{n}!整除．
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5 . 已知有n(n≥4)支足球队参加单循环赛，每两队赛一场，每场胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，所有比赛结束后发现，各队的总分构成公差为1的等差数列，求最后一名得分的最大值．
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6 . 设
为正整数数列，且对任意满足
；的正整数m、n，存在正整数
，使得
．试对每一个固定的
，求
的最大值．
为正整数数列，且对任意满足；的正整数m、n，存在正整数，使得．试对每一个固定的，求的最大值．
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7 . 设
．若
，则n的取值集合为________ ．
．若，则n的取值集合为
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8 . 求最小的正整数
,使得存在一个
的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合
; (2)记
为数阵中第
行中的数组成的集合, 
为第
列中的数组成的集合
,则
,
是4026个不同的集合.
,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026个不同的集合.
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9 . 圆周上分布着2014个点,将其任意染成红、黄两色.若从某一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一位置,所经过的点(含自身)红点个数恒大于黄点个数,则称该点为“优点”.为确保圆周上至少有一个优点,求圆周上黄点个数的最大值.
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10 . 若
为某一整系数多项式的根，则称
为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：
（1）可数个可数集的并为可数集；
（2）存在超越数.
为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：（1）可数个可数集的并为可数集；
（2）存在超越数.
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