1 . 设
为给定的正整数.求所有正整数
，使得存在
，
，且
恰有个不同的质因子.
为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，，且恰有个不同的质因子.
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2 . 由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为
，下面一行为
，⋯⋯证明：对于每个正整数
，
上不能有个方格内的整数都是0.
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，⋯⋯证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.
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3 . 将
的方格表中的某些小方格染黑，使得不存在由三个黑色小方格构成的
形（共四种情形）．求最多有多少个小方格被染色？
的方格表中的某些小方格染黑，使得不存在由三个黑色小方格构成的形（共四种情形）．求最多有多少个小方格被染色？
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4 . 已知函数
：
满足对任意整数
、
有
①则
_________ .
：满足对任意整数、有①则
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5 . 已知
，求证：存在无穷多个正整数
，使
除以的余数互不相同．
，求证：存在无穷多个正整数，使除以的余数互不相同．
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6 . 设，已知个正实数
，
，…，
使对任意
、
，有
，证明：
·
，已知个正实数，，…，使对任意、，有，证明：·
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7 . 试证：对任何正整数，存在唯一的正奇数对
，使得
，存在唯一的正奇数对，使得
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8 . 证明:存在无穷多个棱长为正整数的长方体,其体积恰等于对角线长的平方,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形.
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9 . 已知数列
的前项和为
，
且
．
（1）证明：
，并求的通项公式；
（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数
，都必定存在一个，使
.
的前项和为，且．（1）证明：
，并求的通项公式；（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使.
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