1 . 
，
，给定
，
，
.证明：对任意
、
，
.其中，
表示
与的最大公约数.
，，给定，，.证明：对任意、，.其中，表示与的最大公约数.
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2 . 设
.证明：
.
.证明：.
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3 . 已知数列
满足
，
．给定奇质数
和正整数满足
，证明：
的充分必要条件为
．
满足，．给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为．
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4 . 设
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为
.求证：
.
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为.求证：.
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5 . 已知正整数数列
满足对任意的正整数均有
，证明：存在无穷多个正整数对
（
），使得
．
满足对任意的正整数均有，证明：存在无穷多个正整数对（），使得．
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6 . 集合
，
，
.若集合
中的所有元素都能用
中不超过9个的不同元素相加表示，求
，并构造
达到最小时对应的一个集合.
，，.若集合中的所有元素都能用中不超过9个的不同元素相加表示，求，并构造达到最小时对应的一个集合.
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7 . 已知
，
.证明：
.
，.证明：.
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8 . 设X是非空的正整数集合，满足下列条件：
（1）若
，则
；
（2）若，则
.
证明：X是全体正整数的集合.
（1）若
，则；（2）若
，则.证明：X是全体正整数的集合.
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9 . 整数列定义如下：
.则满足
的n的个数是______ .
定义如下：.则满足的n的个数是
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10 . 对给定的正整数
，定义
表示的各个数位上的数字之和的平方，当
且时，
表示
的各个数位上的数字之和的
次方，其中，当为奇数时，
；当为偶数时，
，试求
的值．
，定义表示的各个数位上的数字之和的平方，当且时，表示的各个数位上的数字之和的次方，其中，当为奇数时，；当为偶数时，，试求的值．
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