1 . 已知数列
满足
， 
.证明：
满足， .证明：
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2 . 已知
，令
求
能取到的不同的整数值的个数.
，令求能取到的不同的整数值的个数.
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3 . 给定正整数
，非负整数
满足对
均有
，其中，
表示
中大于0的数的个数（规定
）.试求
的最大值.
，非负整数满足对均有，其中，表示中大于0的数的个数（规定）.试求的最大值.
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4 . 甲、乙两人轮流吹同一只气球，当且仅当气球内的气体体积
（单位：毫升）大于2014时，气球会被吹破．先由甲开始吹入1毫升气体，约定以后每次吹入的气体体积为上一次体积的2倍或
，且吹入的气体体积为整数．
（1）若谁先吹破气球谁输，问谁有必胜策略？证明你的结论．
（2）若在不吹破气球的前提下，约定单次吹入的气体体积最大者为赢家（如果吹入的体积相同，则最先吹出最大体积者为赢家）．问：谁有必胜策略？证明你的结论．
（单位：毫升）大于2014时，气球会被吹破．先由甲开始吹入1毫升气体，约定以后每次吹入的气体体积为上一次体积的2倍或，且吹入的气体体积为整数．（1）若谁先吹破气球谁输，问谁有必胜策略？证明你的结论．
（2）若在不吹破气球的前提下，约定单次吹入的气体体积最大者为赢家（如果吹入的体积相同，则最先吹出最大体积者为赢家）．问：谁有必胜策略？证明你的结论．
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5 . 在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂（即形如
，其中，
是某个正整数）．
，其中，是某个正整数）．
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6 . 设
为实数，
.证明：
(1)把写成无穷乘积有唯一的表达式
其中，
为正整数，满足
；
(2)是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在
，对所有的
，满足
为实数，.证明：(1)把
写成无穷乘积有唯一的表达式其中，为正整数，满足；(2)
是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的，满足
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7 . 已知数列满足，
，
.
（1）求的通项公式；
（2）令
，
为数列
的前项和，证明：
.
满足，，.（1）求
的通项公式；（2）令
，为数列的前项和，证明：.
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8 . 已知实数数列满足
,
.其中,
表示不超过实数
的最大整数.求
.
满足,.其中,表示不超过实数的最大整数.求.
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9 . 数列、满足
，
，
，
．则
的值为______ （表示不超过实数的最大整数）．
、满足，，，．则的值为表示不超过实数的最大整数）．
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