1 . 已知向量，，求：
(1)；
(2)；
(3).

2 . 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：

(1)如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：.
(2)如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值.

4 . 在中，内角所对的边分别为，已知，.
(1)求的外接圆面积；
(2)若为的内心，求周长的最大值.

5 . 如图（1）所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中.

   

(1)在图（2）所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积；
(2)若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

6 . 如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，

   

(1)用表示向量；
(2)若，且，求.

7 . （1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求；
（2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.

8 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量.设，则和的内积定义为，且.
(1)写出所有3维信号向量；
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.

10 . 如图，在梯形中，，，，为的中点，.

   

(1)若，试确定点在线段上的位置；
(2)若，当为何值时，最小?