1 . 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.
(1)求复数；
(2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.

2 . 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

   

(1)证明：平面ABC；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．

3 . 如图，点分别是矩形的边上的两点，，.

(1)若、分别为、的中点，求；
(2)若，求的范围；
(3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.

4 . 已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，．

(1)说明的原图的形状并求其面积；
(2)若以的边BA为旋转轴旋转一周，判断所得几何体的名称及求其体积和表面积．

5 . 已知，．
(1)若，求的坐标：
(2)若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模．

6 . 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．

(1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）
(2)若的面积为，求的面积的最小值．
(3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．

7 . 在中，内角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)已知，点是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值:
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图:




它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．

8 . 已知向量满足，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，，求．

9 . （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．
（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．