1 . 已知圆过点和，且与直线相切．
(1)求圆的方程；
(2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．

2 . 如图，在直四棱柱 中， 是棱 的中点, . 请用向量法解决下列问题.

(1)求证: ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.

3 . 已知各项都为正数的数列 的前 项和为 , 且满足 .
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.

4 . 已知直线 与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；
(3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程.

5 . 求双曲线的实轴和虚轴长，焦点和顶点坐标，离心率和渐近线方程.

6 . 设 是椭圆的下顶点，点在 上，求 的最大值.

7 . 如图，直四棱柱的高为3，底面是边长为4且的菱形，，，是的中点．

(1)求二面角的大小；
(2)求点到平面的距离．

8 . 已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

(1)求双曲线的方程;
(2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值；

9 . 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直.
(1)求的标准方程；
(2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.

10 . 已知为等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若为递增数列，，设的前项和为，求取最小时的值.