1 . 已知数列中，是其前项的和，，.
(1)求，的值，并证明是等比数列；
(2)证明：.

2 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

3 . 1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(     )

A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则

B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列

C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)

D．若最初有个桃子,则必有的倍数

4 . 已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（       ）

A．

B．数列是以2为公比的等比数列

C．对任意的，

D．的最小正整数n的值为15

6 . 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n，易知．

①试证明：为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n，比较p₁₀与q₁₀的大小．

7 . 已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知数列满足，且，则（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（       ）

A．，

B．数列是等比数列

C．数列是等比数列

D．的数学期望

10 . 为了方便出行，缓解交通压力，保护环境，推进生态文明建设，市政府大力推行共享交通工具出行．某企业根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品，市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受市民欢迎．一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为，该企业为了促进市民消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分，每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)记某一市民已使用该企业共享交通工具的累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，），试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．