【推荐1】已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若，证明：

【推荐2】已知函数，，.
（1）求函数的极值点；
（2）若在上为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.

【推荐3】已知函数()，其中e为自然对数的底数，.是函数的极大值或极小值，则称为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点.
（1）函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；
（3）当函数有两个不相等的极值点和时，证明：.

【推荐1】已知函数为实数．
(1)若恒成立，求实数的取值范围;
(2)若方程恰有3个不同的实数根，求实数的值

【推荐2】已知函数和有相同的最大值．
(1)求的值；
(2)已知直线与两条曲线和共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别设为，证明：．

【推荐3】已知函数，．
(1)证明：；
(2)若存在直线，其与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为，，，，证明：．

【推荐1】已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若，证明：当时，．

【推荐2】2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为.
(1)若，求；
(2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）

【推荐3】设函数．
（1）当（e为自然对数的底数）时，求的值域；
（2）讨论函数零点的个数．