【推荐1】设函数.若，可以证明：函数在上为单调递增函数(本题作为已知条件).
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在区间上有唯一的零点；
（3）记（2）中的零点为，求证：，，…，，…为递减数列.

【推荐2】已知函数.
（1）当时，求函数在的单调性；
（2）当且时，，求函数在上的最小值；
（3）当时，设.记为函数在上的唯一零点，证明：.其中为自然对数的底数.

【推荐3】已知函数，且的极值点为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)若函数有两个不同的零点，证明：.

【推荐1】已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线交该抛物线于、两点，且
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为轴的负半轴上任意一点，为抛物线上任意一点，且，求证：直线与抛物线有且只有一个公共点．

【推荐2】在直角坐标系中，，动点满足：以为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线过点且与交于两点，当与的面积之和取得最小值时，求直线的方程.

【推荐3】抛物线焦点为F，上任一点P在y轴的射影为Q，PQ中点为R，．
（1）求动点T的轨迹的方程；
（2）直线过F与从下到上依次交于A，B，与交于F，M，直线过F与从下到上依次交于C，D，与交于F，N，，的斜率之积为-2．
（i）求证：M，N两点的横坐标之积为定值；
（ii）设△ACF，△MNF，△BDF的面积分别为，，，求证：为定值.

【推荐1】已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于两点，斜率为2的直线与抛物线交于两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)① 求证：直线过定点；
② 若的面积为，且满足，求直线斜率的取值范围．

【推荐3】已知抛物线上一点到焦点的距离为，过作两条互相垂直的直线和，其中斜率为与抛物线交于A，B，与y轴交于C，点Q满足：

（1）求抛物线的方程；
（2）求三角形PQC面积的最小值.