1 . 定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图像的“相对点”．例如，点
是函数
的图像的“相对点”．
(1)分别判断函数
，
的图像上是否存在“相对点”，如果存在，求出“相对点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)若抛物线
有两个“相对点”为点
，
，过点
作
轴的平行线与抛物线交于点
（不与点重合），当
的面积为10时，求抛物线的解析式；
(3)若函数
的图像记为
，将其沿直线
翻折后的图像记为
，当，两部分组成的图像上恰有3个“相对点”时，求
的值．
是函数的图像的“相对点”．(1)分别判断函数
，的图像上是否存在“相对点”，如果存在，求出“相对点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)若抛物线
有两个“相对点”为点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点（不与点重合），当的面积为10时，求抛物线的解析式；(3)若函数
的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有3个“相对点”时，求的值．
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2 . 如图，抛物线
与x轴交于
、
两点．
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形
是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
与x轴交于、两点．
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形
是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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3 . 开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处 C 点与路面的距离
为50米，若以点 O 为原点，所在的直线为y 轴，建立如图②所示的平面直角坐标 系，抛物线与x 轴相交于A、B 两点，且
两点间的距离为80米．
(2)钢拱最高处C 点与水面的距离
为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；
(3)当
时，求y的取值范围．
为50米，若以点 O 为原点，所在的直线为y 轴，建立如图②所示的平面直角坐标 系，抛物线与x 轴相交于A、B 两点，且两点间的距离为80米．
(2)钢拱最高处C 点与水面的距离
为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；(3)当
时，求y的取值范围．
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4 . 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与x轴交于
，
两点，与
轴交于点．
(2)如图
，
轴与抛物线相交于点
，点
是直线
下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与
，分别相交于点
，
，试探究当点运动到何处时，四边形
的面积最大，求点的坐标．
与x轴交于，两点，与轴交于点．
(2)如图
，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标．
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144次组卷
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3卷引用：2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题
名校
5 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于，
两点（点在点的左侧），与轴交于点，
，顶点为
，对称轴交轴于点．的坐标；
(2)如图2，点
为抛物线对称轴上一动点，当在什么位置时
最小，求出点的坐标，并求出此时
的周长；
(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点
，在对称轴右侧的抛物线上有一点
，满足
．求证：直线
恒过定点，并求出定点坐标．
与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，，顶点为，对称轴交轴于点．
的坐标；(2)如图2，点
为抛物线对称轴上一动点，当在什么位置时最小，求出点的坐标，并求出此时的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点
，在对称轴右侧的抛物线上有一点，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
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6 . 如图1，已知二次函数
的图象与轴交于点
、
，与轴交于点，且
．
(2)如图2，过点作
轴交二次函数图象于点，
是二次函数图象上异于点的一个动点，连结
、
，若
，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结
交于点．设点的横坐标为
，试用含的代数式表示
的值，并求的最大值．
的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．
(2)如图2，过点
作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于
下方的一个动点，连结交于点．设点的横坐标为，试用含的代数式表示的值，并求的最大值．
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名校
7 . 已知二次函数
（
为常数且
）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数
的图象记为
，将关于原点对称的图象记为
与
合起来得到的图象记为
，完成以下问题：
①在网格中画出函数的图象；上的两点
，当
时，总有
，求出的取值范围．
（为常数且）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4．(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数
的图象记为，将关于原点对称的图象记为与合起来得到的图象记为，完成以下问题：①在网格中画出函数
的图象；
上的两点，当时，总有，求出的取值范围．
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8 . 如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为
；③当
时；函数值随的增大而增大；④方程
有一个根大于4．其中正确的是（ ）
与函数的几组对应值：
|
|
| 0 | 1 | 3 |
|
|
| 6 |
|
|
|
|
；③当时；函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（ ）| A．①② | B．①③ | C．①③④ | D．②③④ |
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112次组卷
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2卷引用：2024年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考三模数学试题
9 . 我们可以通过列表、描点、连线等步骤作出所学函数的图象，另外，我们也学过绝对值的性质： 
结合上面的学习经历，解决下面的问题：
，当
时，
；当时，．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求出表中
，
的值：
，
．结合以下表格，在坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质： ．
(3)若关于x的方程
有4个不同实数根，请根据函数图象，直接写出t的取值范围．
结合上面的学习经历，解决下面的问题：x | … |
|
|
|
| 0 |
|
| |
y |
| 0 |
|
| n | 0 |
|
，当时，；当时，．(1)求这个函数的解析式；
(2)求出表中
，的值： ， ．结合以下表格，在坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质： ．(3)若关于x的方程
有4个不同实数根，请根据函数图象，直接写出t的取值范围．
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10 . 如图，二次函数
的图像的顶点为
，点
在二次函数的图像上，为二次函数图像上的一动点．
(2)如图1，当点的横坐标为
时，连接
，为线段上的一动点，过点作
轴，交抛物线于点，作
轴，交轴于点，求
的最大值．
(3)如图2，连接
并延长，交一次函数
的图像于点，过点作
轴，交二次函数的图像于点，连接
．小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由．
的图像的顶点为，点在二次函数的图像上，为二次函数图像上的一动点．
(2)如图1，当点
的横坐标为时，连接，为线段上的一动点，过点作轴，交抛物线于点，作轴，交轴于点，求的最大值．(3)如图2，连接
并延长，交一次函数的图像于点，过点作轴，交二次函数的图像于点，连接．小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由．
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