1 . 如图，二次函数
的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接
，若
，
，则a的值是_______ ．
的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是
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2 . 如图1，二次函数
的图象与
轴相交于点
和点
，与
轴相交于点
．
________，②顶点坐标为________；
(2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点
及图像的一段，分别记为
，
．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为
．求点移动的最短路程；
(3)如图3，
是抛物线上一点，
为射线
上的一点，且
两点均在第一象限内，
是位于直线
同侧的不同两点，
，点到轴的距离为
，
的面积为
，且
，请问
的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．
________，②顶点坐标为________；(2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点
及图像的一段，分别记为，．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程；(3)如图3，
是抛物线上一点，为射线上的一点，且两点均在第一象限内，是位于直线同侧的不同两点，，点到轴的距离为，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
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3 . 某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系
．根据以上信息，解答下列问题；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系
．根据以上信息，解答下列问题；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
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7日内更新
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147次组卷
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3卷引用：山东省烟台市福山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
4 . 抛物线 
经过点 
和
．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)P是该抛物线上的点，过点P作y轴的垂线，垂足为D．要使以P、D、O 为顶点的三角形与△AOB相似，求满足条件的点 P的横坐标．
经过点 和．(1)求该抛物线的表达式；
(2)P是该抛物线上的点，过点P作y轴的垂线，垂足为D．要使以P、D、O 为顶点的三角形与△AOB相似，求满足条件的点 P的横坐标．
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5 . 已知二次函数
的图象交轴于
，两点，交轴于点．一次函数
的图象经过点，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若二次函数的图象与平行于轴的直线
始终有两个交点
，
（点在点的左侧），为该抛物线上异于，的一点，点，的横坐标分别为
，
．当的值发生变化时，
的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由；
(3)过点的直线交直线
于点，连接，当直线与直线的夹角等于
的2倍时，求出点的坐标．
的图象交轴于，两点，交轴于点．一次函数的图象经过点，．(1)求二次函数的解析式；
(2)若二次函数
的图象与平行于轴的直线始终有两个交点，（点在点的左侧），为该抛物线上异于，的一点，点，的横坐标分别为，．当的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由；(3)过点
的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，求出点的坐标．
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名校
6 . 在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于
两点，与y轴交于点C，连接．
(2)如图1，点Р是直线下方抛物线上一点，连接
，设
和
的面积分别为
，请求出
的最大值及取得最大值时点P的坐标；
(3)如图2，作点C关于x轴的对称点
，将抛物线沿射线
方向平移
单位长度得新抛物线
，点D是新抛物线的顶点，点E是新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点Q，使得
，写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程．
与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．
(2)如图1，点Р是直线
下方抛物线上一点，连接，设和的面积分别为，请求出的最大值及取得最大值时点P的坐标；(3)如图2，作点C关于x轴的对称点
，将抛物线沿射线方向平移单位长度得新抛物线，点D是新抛物线的顶点，点E是新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点Q，使得，写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程．
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7 . 如图，抛物线与直线
相交于点
，
，直线AB与轴相交于点．
(2)点是抛物线在直线
下方部分的一个动点，过点作
轴交于点，过点作
轴交于点
，求
的最大值．
与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点．
(2)点
是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值．
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8 . 【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约
的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
中，
，喷射角
，地面有效保护直径为
米，喷嘴O距离地面的高度
为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形
，创新小组以点O为坐标原点，墙面
所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即
米，
米，水喷射到墙面D处，且
米．
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径
为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为
米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约
的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形
，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径
为_______米；任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度
为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
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9 . 设抛物线
与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左侧），顶点为C．若a、b、c满足
，则称该抛物线为“正定抛物线”；若a、b、c满足
，则称该抛物线为“负定抛物线”．特别地，若某抛物线既是“正定抛物线”又是“负定抛物线”，则称该抛物线为“对称抛物线”．
(1)“正定抛物线”必经过x轴上的定点______；“负定抛物线”必经过x轴上的定点______．
(2)若抛物线是“对称抛物线”，且经过
，求此抛物线对应的函数表达式．
(3)若抛物线是“正定抛物线”，当
或p时，该抛物线顶点分别为
，
，若
轴，求n与p之间的数量关系．
与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左侧），顶点为C．若a、b、c满足，则称该抛物线为“正定抛物线”；若a、b、c满足，则称该抛物线为“负定抛物线”．特别地，若某抛物线既是“正定抛物线”又是“负定抛物线”，则称该抛物线为“对称抛物线”．(1)“正定抛物线”必经过x轴上的定点______；“负定抛物线”必经过x轴上的定点______．
(2)若抛物线
是“对称抛物线”，且经过，求此抛物线对应的函数表达式．(3)若抛物线
是“正定抛物线”，当或p时，该抛物线顶点分别为，，若轴，求n与p之间的数量关系．
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10 . 抛物线
与轴的交点为
，顶点为，对称轴与轴的交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接
，点在线段
上，若上存在点
，使得
，且
，求点的坐标；
(3)点是抛物线上的一个动点（不与点
重合），直线
分别与抛物线的对称轴相交于点
，求证：
与
的面积相等．
与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为．(1)求抛物线的解析式；
(2)连接
，点在线段上，若上存在点，使得，且，求点的坐标；(3)点
是抛物线上的一个动点（不与点重合），直线分别与抛物线的对称轴相交于点，求证：与的面积相等．
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