1 . 如图，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接．

(1)当时，求的长；
(2)如图，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想：
(3)如图，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积．

2 . 在菱形中，，，动点M在射线上运动．

(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．

3 . 如图1，二次函数的图象与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．点是轴左侧抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，交抛物线于另一点．

(1)求点，，的坐标．
(2)如图2，当点在第二象限时，连接，交直线于点．当时，求的值．
(3)当点在第三象限时，以为边作正方形，当点在正方形的边上时，直接写出点的坐标．

4 . 如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_______．

7 . 如图．已知为等腰直角三角形，，、分别为、上的两点，，连接，将绕点逆时针旋转得，连接与交于点．

(1)如图1，当时，若，求的长；
(2)如图2，连接，为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得，连接、、，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积．

8 . 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于P点． 试猜想与的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】
同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题． 请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】
希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值． 当时，请你求出周长的最小值．

9 . 点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为__________．

10 . 如图，中，，，点为线段上一动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角，连接，则的最小值是_________．