1 . 【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．
如图①，点
、
、
、
均为
上的点，
，则有
______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若
，点为弧
上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持
，则
的度数恒为
．
下面是小初的证明过程：
证明：延长
至点使
，连接
．
缺失（1）
在
与
中，
，
∴
．
∴
，
，
，
又，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形．
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且
，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形
的周长的最大值为______．
如图①，点
、、、均为上的点，，则有______°；【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点
，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．下面是小初的证明过程：
证明：延长
至点使，连接．缺失（1）
在
与中，，∴
．∴
，，，又
，∴
，∴
，∴
为等边三角形．缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点
，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．
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2 . 如图，在正方形中，
，E、F分别是
上的点，且
，
分别交
于点M，N，连接
．
和
的数量关系和位置关系；
(2)如图②，若点G是
的中点，连接
，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若
，求
的面积．
中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接．
和的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点G是
的中点，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若
，求的面积．
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3 . 如图，在等边三角形
中，点D在边
上，连接
，将绕点B旋转一定角度，使得
，连接
．若
，则
为（ ）
中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2024-04-13更新
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172次组卷
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4卷引用：2024年山东省聊城市东昌府区九年级中考一模数学模拟试题
4 . 问题提出
已知
是等边三角形，将等边三角形
（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，且平移线段
使点A与顶点C重合，得到线段
，连接
．
观察发现
（1）如图1，当点E在线段
上，猜想
的形状 ；
探究迁移
（2）如图2，当点E不在线段上，（1）中猜想的结论是否依然成立；
拓展应用
（3）若
，
，在
绕着点A旋转的过程中，当
时，求
的长．
已知
是等边三角形，将等边三角形（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，且平移线段使点A与顶点C重合，得到线段，连接．观察发现
（1）如图1，当点E在线段
上，猜想的形状 ；探究迁移
（2）如图2，当点E不在线段
上，（1）中猜想的结论是否依然成立；拓展应用
（3）若
，，在绕着点A旋转的过程中，当时，求的长．
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5 . 如图1，矩形
顶点的坐标为
，定点的坐标为
，动点
从点
出发，以每秒2个单位长度的速度沿
轴的正方向匀速运动，动点
从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以
为斜边在轴上方作等腰直角三角形
．设运动时间为
秒．
___________时，
的边
经过点，当___________时，点
落在边
上；
(2)设和矩形重叠部分的面积为
，求与的函数关系式；
(3)如图2，过定点
作
，垂足为
，当的顶点落在矩形的内部时，过点作轴、
轴的平行线，分别交、于点M、N，若
，直接写出的值___________．
顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形．设运动时间为秒．
___________时，的边经过点，当___________时，点落在边上；(2)设
和矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式；(3)如图2，过定点
作，垂足为，当的顶点落在矩形的内部时，过点作轴、轴的平行线，分别交、于点M、N，若，直接写出的值___________．
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6 . 如图，已知半圆的直径长为2，点为
中点，为
上任意一点，
与
相交于点．
______ （度）；
（2）
的最小值为______ ．
的直径长为2，点为中点，为上任意一点，与相交于点．
（2）
的最小值为
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7 . 如图，点
为正方形边上一点，连接
，将
绕点逆时针方向旋转
得到
，点对应点为，点对应点为G，
交于点
，连接
．下列结论：①
；②
；③当点E与点重合时
；④当点
落在边上时，
；⑤当最短时，
．其中正确的是______ （填写序号）
为正方形边上一点，连接，将绕点逆时针方向旋转得到，点对应点为，点对应点为G，交于点，连接．下列结论：①；②；③当点E与点重合时；④当点落在边上时，；⑤当最短时，．其中正确的是
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名校
8 . 折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：如图1，在矩形纸片中，
，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为
，连接；此时，就可以得到一个四边形
，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：____．
(2)深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为
，连接
，延长
交于点M，连接
．
①求证：
；
②猜想线段
和的数量关系，并证明；
(3)拓展应用：延长交矩形的边于点N，若
，直接写出
的值．
(1)操作判断：如图1，在矩形纸片
中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：____．(2)深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在
边上的点G处，折痕为，连接，延长交于点M，连接．①求证：
；②猜想线段
和的数量关系，并证明；(3)拓展应用：延长
交矩形的边于点N，若，直接写出的值．
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解题方法
9 . 综合实践
菱形中，点在对角线
上，点
在直线上，将线段
绕点顺时针旋转得到线段
，旋转角
，连接．
【问题发现】
（1）如图
，当点与点重合时，线段、、之间的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图
，当点在边上时，
时，求证：
【拓展延伸】
（3）如图
，点在
延长线上，为中点，当
，
，
时，设
求与之间的数量关系．
菱形
中，点在对角线上，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角，连接． 【问题发现】
（1）如图
，当点与点重合时，线段、、之间的数量关系为 ．【类比探究】
（2）如图
，当点在边上时，时，求证：【拓展延伸】
（3）如图
，点在延长线上，为中点，当，，时，设求与之间的数量关系．
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名校
10 . 为等边三角形，
于点，为线段上一点，
．以为边在直线右侧构造等边三角形
，连接
为
的中点．
(1)如图1，与交于点，连接，求线段的长；
(2)如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为
，为线段的中点，连接
，
．当
时，猜想
的大小是否为定值，并证明你的结论．
为等边三角形，于点，为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边三角形，连接为的中点．(1)如图1，
与交于点，连接，求线段的长；(2)如图2，将
绕点逆时针旋转，旋转角为，为线段的中点，连接，．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论．
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