1 . 【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
如图，、都是等腰直角三角形，，画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．

   

数学课上，同学们连结便解决了此问题，随后数学老师追问：与具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于是由绕着点逆时针旋转后得到的，所以与为对应线段，所以．
乙组：根据题意，我们可以证明，因此．
请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．
【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②，、都是等边三角形，连结、、．
①则与的数量关系是______．
②若，则长为______．
【拓展应用】、都是等边三角形，，若将绕着点旋转一周，在运动过程中，点到直线的距离设为，则的取值范围是______．

   

2 . 【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．

【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．

6 . 如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：．
【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长．
【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________．

9 . 【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．
如图①，点、、、均为上的点，，则有______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．
下面是小初的证明过程：
证明：延长至点使，连接．
缺失（1）
在与中，
，
∴．
∴，
，，
又，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．