1 . 如图,是等边的外接圆.【问题原型】如图,连结,延长交弦于点,交于点.连结、.求证:;
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下:
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形,
∴,,
∴,则为等边三角形,
同理可得:也为等边三角形,
∴.
【方法应用】如图2,若为上任意一点,连结,,,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【拓展提升】如图③,若的半径为,且为上一点,且,则四边形的面积的是______.
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下:
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形,
∴,,
∴,则为等边三角形,
同理可得:也为等边三角形,
∴.
【方法应用】如图2,若为上任意一点,连结,,,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【拓展提升】如图③,若的半径为,且为上一点,且,则四边形的面积的是______.
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2 . 如图.已知为等腰直角三角形,,、分别为、上的两点,,连接,将绕点逆时针旋转得,连接与交于点.(1)如图1,当时,若,求的长;
(2)如图2,连接,为的中点,连接,求证:;
(3)如图3,连接,将绕点顺时针旋转得,连接、、,若,当周长取得最小值时,直接写出的面积.
(2)如图2,连接,为的中点,连接,求证:;
(3)如图3,连接,将绕点顺时针旋转得,连接、、,若,当周长取得最小值时,直接写出的面积.
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2024九年级下·全国·专题练习
3 . 在矩形中,,,点在边上,将射线绕点逆时针旋转,交延长线于点,以线段,为邻边作矩形.(1)如图1,连接,求的度数和的值;
(2)如图2,当点在射线上时,求线段的长;
(3)如图3,当时,在平面内有一动点,满足,连接,,求的最小值.
(2)如图2,当点在射线上时,求线段的长;
(3)如图3,当时,在平面内有一动点,满足,连接,,求的最小值.
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4 . 综合与实践
【问题情境】:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形中,E是的中点,,与正方形的外角的平分线交于P点. 试猜想与的数量关系,并加以证明;
(1)【思考尝试】
同学们发现,取的中点F,连接可以解决这个问题. 请在图1中补全图形,解答老师提出的问题.
(2)【实践探究】
希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形中,E为边上一动点(点E,B不重合),是等腰直角三角形,,连接,可以求出的大小,请你思考并解答这个问题.
(3)【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形中,E为边上一动点(点E,B不重合),是等腰直角三角形,,连接.知道正方形的边长时,可以求出周长的最小值. 当时,请你求出周长的最小值.
【问题情境】:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形中,E是的中点,,与正方形的外角的平分线交于P点. 试猜想与的数量关系,并加以证明;
(1)【思考尝试】
同学们发现,取的中点F,连接可以解决这个问题. 请在图1中补全图形,解答老师提出的问题.
(2)【实践探究】
希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形中,E为边上一动点(点E,B不重合),是等腰直角三角形,,连接,可以求出的大小,请你思考并解答这个问题.
(3)【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形中,E为边上一动点(点E,B不重合),是等腰直角三角形,,连接.知道正方形的边长时,可以求出周长的最小值. 当时,请你求出周长的最小值.
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名校
5 . 点P在平面内一动点,,,点M是上一点,且,连接,则的最小值为__________ .
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6 . 如图,中,,,点为线段上一动点,连接,以为直角边在右侧作等腰直角,连接,则的最小值是_________ .
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解题方法
7 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题:(1)问题发现:如图1,中,,.点P是底边上一点,连接,以为腰作等腰,且,连接、则和的数量关系是______;
(2)变式探究:如图2,中,,.点P是腰上一点,连接,以为底边作等腰,连接,判断和的数量关系,并说明理由;
(3)问题解决:如图3,在正方形中,点是边上一点,以为边作正方形,点是正方形两条对角线的交点,连接.若正方形的边长为,,请直接写出正方形的边长.
(2)变式探究:如图2,中,,.点P是腰上一点,连接,以为底边作等腰,连接,判断和的数量关系,并说明理由;
(3)问题解决:如图3,在正方形中,点是边上一点,以为边作正方形,点是正方形两条对角线的交点,连接.若正方形的边长为,,请直接写出正方形的边长.
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8 . 综合与实践
问题情境:
如图,在中,,,点在所在的平面内运动.探究图形间存在的关系.特例探究:
(1)如图,当点在边上运动,连接,将线段绕点逆时针旋转得到,连接,,发现,请说明理由;
拓展探究;
(2)如图2,点和分别为和的中点,点在外部时,将线段绕点逆时针旋转得到,连接,和,判断与的数量关系,并证明;
求异探究:
(3)如图3,当点在的延长线上时,连接, 将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接.若,,直接写出的长.
问题情境:
如图,在中,,,点在所在的平面内运动.探究图形间存在的关系.特例探究:
(1)如图,当点在边上运动,连接,将线段绕点逆时针旋转得到,连接,,发现,请说明理由;
拓展探究;
(2)如图2,点和分别为和的中点,点在外部时,将线段绕点逆时针旋转得到,连接,和,判断与的数量关系,并证明;
求异探究:
(3)如图3,当点在的延长线上时,连接, 将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接.若,,直接写出的长.
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9 . 如图,是等边边上的高,在、上分别取一点E、F,使,连接、.若,设,则的最小值为( )
A. | B. | C.2 | D.3 |
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10 . 如图,在矩形中,,,点在线段上运动(含两点),连接,以点为中心,将线段逆时针旋转到,连接,则线段的最小值为( )
A. | B. | C. | D.3 |
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