1 . 已知正方形，点是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点，当最小时，______．

4 . 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：

方案	方案①	方案②
测量示意图	图①	图②
测量说明	如图①，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度	如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离
测量结果	，，	，，

请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度．

5 . 如图，已知是的直径，点在的延长线上，点在上，连接和，且平分．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，弧上有一点，连接，于点，交于点，，若，，求线段的长．

7 . 如图，在中，，是边上的一点，连接并延长交的延长线于点，是边上的一点，且，连接．

(1)如图1，，，．
①求的长；
②是边上的一点，连接交于点，若，求证：．
(2)如图2，是上的一点，连接，若，求证：平分．

9 . 感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______.