1 . 如图，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，．如图1，交于点，若，，线段的长度是______；为的中点，连接，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，若，当取得最小值时，线段的长度的最小值是______．

   

3 . 在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是_______．

4 . 【问题呈现】
（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系        ．
【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．

   

5 . 已知抛物线与x轴交于，两点，与y 轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第一象限抛物线上的点，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D 在 y 轴负半轴上，且，点 Q 为抛物线上一点，．点 E，F分 别为的边，上的动点，且， 求的最小值．

6 . 如图，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

(1)观察猜想如图1，当时，线段，之间的数量关系，并说明理由；
(2)类比探究如图2．当时，请写出线段，之间的数量关系，并仅就图2的情形说明理由；
(3)拓展应用如图3，当，，点，与的中点三点共线时，请直接写出的值．

7 . 如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A，C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接．

(1)若，则__________；
(2)将绕点C逆时针旋转，当旋转至如图2所示的位置时，连接，，请判断此时的形状，并说明理由；
(3)若，，在（2）中图2的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中（如图3），当平行四边形为菱形时，请直接写出的面积．

9 . 如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（       ）

   

A．

B．

C．2

D．3

10 . 如图，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接．

(1)当时，求的长；
(2)如图，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想：
(3)如图，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积．