1 . 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：

(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
(2)证明：∵，
∴．
∵平分，
∴ ① ．
在和中，

∴．
∴．
∵

∴ ③
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ．

3 . 如图，在中，，，点在边上，且．

(1)求的度数；
(2)尺规作图：作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)在（2）的条件下，求证：．

4 . 如图，一次函数与反比例函数的图象于点，B为y轴正半轴一点，连接．
   
(1)求反比例函数的表达式．
(2)尺规作图：作线段的中点C．（保留作图痕迹，不写做法）
(3)连接并延长至点D，使，连接．求证：．

6 . 如图，是等边三角形，点分别在上，与相交于点．

(1)求证：；
(2)在线段的延长线上求作一点P，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）

8 . 如图，点在线段上，，，，交于点．

(1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论)
(2)求证．
证明：
　　
在和中，


，　　，
．


　　
　　
．

9 . 如图，已知正方形，点在边上，连接．

(1)尺规作图：在正方形内部作，使，边交线段于点，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)要探究，的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整．

解：，，理由如下．

四边形是正方形，

∴ ① ，，

在和中，

，

∴，

∴     ③       

∵，，

∴      ④      ．

∴，

∴．

∴，．

通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 ⑤ 的线段长相等．

10 . 如图，是菱形的对角线．

   

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点E，F，连接、（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：点F在线段的垂直平分线上．
证明：四边形是菱形，
，　　．
在和中，

，
　　．
垂直平分，
　　，
．
点F在线段的垂直平分线上（　　）．