1 . 一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

3 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
   
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 探索与发现：
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形的边上取定点E，使，在边上设置动点P，连接，以为边在的上方作正方形，接，．

   

(1)小李同学通过观察发现图中，请给出证明；
(2)探索过程中发现，在点P运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ；
(3)进一步探索后发现，随着点P的运动，的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．

5 . 【探究∙发现】
正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为a，则正方形的周长为______，面积为______（都用含a的代数式表示）．
【拓展·综合】
如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．

（1）在平面直角坐标系中，点P是原点P的“正方形关联点”．若点P在直线上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值为______．
（2）如图2，已知点，点B在直线l：上，正方形是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求的最小值．

6 . 如图，在边长为4的正方形，点为边靠近点的四等分点．点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段．连接，则的最小值为________．

7 . 【综合与实践】
【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任作一个，作出的平分线．在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，．第一小组的测量结果如下：
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

学生			学生
小明			小刚
小红			小丽

(1)【实验猜想】我们猜想角的平分线有以下性质：______．
(2)【推理证明】请结合图1，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，．求证：．
   
(3)【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
   

9 . 如图，矩形中，，，为的中点，点为边上一动点，，平分，过点作，垂足为，取的中点，连接，，则的最小值为______．

10 . 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为(       )．

A．3

B．4

C．

D．