1 . 发现问题
（1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则       ．
探究问题
（2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积．
解决问题
（3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴）

2 . 如图，在一块大三角形模板中镶嵌一个小三角形模板，已知，大三角形模板中有两条边相等，镶嵌后，小三角形模板的顶点D恰好是的中点，且于点E，于点F，求的度数．

3 . 【问题探究】
（）如图，已知点与点关于对称，则_______；（填“”“”或“”）
（）如图，在菱形中，点是上的点，连接；将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长；
【问题解决】
（）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）．

4 . 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：

方案	方案①	方案②
测量示意图	图①	图②
测量说明	如图①，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度	如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离
测量结果	，，	，，

请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度．

5 . 【问题提出】
（1）如图1，在和中，，边与在一条直线上，于点，若，，则的长为______．
【问题探究】
（2）如图2，点为正方形的对角线的中点，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题解决】
（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一个室内健身中心．如图3，矩形是该居民小区的一块空地，点为矩形空地的对称中心，为该矩形空地的对角线，经测量，米，，房地产商计划在上取一点（不与端点重合），的延长线上取一点，将区域修建为室内健身中心，根据规划要求，，设的长为米，室内健身中心（）的面积为平方米．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为80米时，整体布局比较合理，试求当米时，室内健身中心（）的面积．

6 . 【问题提出】
（1）如图1，是菱形的对角线，则______；（填“”“”或“”）；
【问题探究】
（2）如图2，正方形的边长为4，点在的延长线上，且，过点的直线分别交边于点，若恰好将正方形的面积平分，求的长；
【问题解决】
（3）某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形和以为直径的半圆构成，点在上，公园规划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的人口在半圆上的点处，，要在边上找一点，再沿修一条小路（小路的宽度忽略不计），使得将这块空地分成面积相等的两部分，用于种植不同的花，已知，请你在图3中找出点的位置，并计算出小路的长．（结果保留根号）

7 . 问题提出
（1）如图1，在菱形中，，，则菱形的面积为          ．
问题探究
（2）如图2，在四边形中，，，连接．已知，求的值．
问题解决
（3）如图3，四边形是一块空地，其中，，，，米，米，开发商计划在四边形内修建一个四边形花园，且要求，，请求出四边形的面积．

8 . 【问题探究】

（1）如图1，在四边形中，，点为上一点，连接，求证：；

（2）如图2，在四边形中，，点为上一点，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由；

【问题解决】

（3）如图3，四边形是赵叔叔家的果园平面示意图，点为果园的一个出入口（点在边上），为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，，米，赵叔叔计划在区域内种植某种果树，并沿修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出的长度．

9 . 在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．

   

(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

10 . 三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：，以为边的正方形为朱方，以为边的正方形为青方，引为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝__________________．