2 . 如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：．

   

3 . 如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有_________________．
①；②为中点；③；④

   

4 . 已知直线的平分线与 的平分线交于点，过点 作 交于点 ，交直线于点．

   

(1)当直线 时，如图，求证：；
(2)当直线 与不垂直时，如图、图，猜想线段之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并利用图或图进行证明．

5 . 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图．

(1)在图①中，过点C作边上的高线；
(2)在图②中，过点E作的平行线．

6 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：
如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题初探】：
第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围，
第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围．

（1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题
【类比分析】
（2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度．
【思维拓展】
（3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点．

7 . 如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．

   

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．

9 . 如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 _____．

10 . （1）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、证明：．

（2）如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．