1 . 同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为________；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

2 . 如图，在菱形中，M，N分别在，且，与
交于点O，，则∠OBC的度数为（　　）

A．

B．

C．

D．

3 . 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：．

4 . 如图，在直角中，，B是边上一点，连接，O为的中点，过C作交延长线于D，且平分，连接．

   

(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接交于F，，求的度数．

5 . 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

(1)探究1：小强看到图（1）后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，请你根据提示写出小强的证明过程．
(2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．

6 . 如图，在中，是对角线，，E是的中点，平分，连接，．若，，，则的长为_______．

7 . 【基本图形和结论】在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：（看会下面思路，不写证明过程）

思路：根据全等判定方法（）可证
(1)【方法应用】如图1，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是____________．
(2)【猜想证明】如图2，在四边形中，，点是的中点若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图3，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，求出线段的长．

8 . 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，连接交轴于点，．

(1)求的值；
(2)若点的横坐标为，连接，，求四边形的面积；
(3)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：．

9 . 综合与实践
我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，下面是某两个小组的探究内容．
知识储备
由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，也是相似三角形的典型模型之一．
知识应用
（1）如图①，在中，，是边的中点，当时，      ．
问题探究
（2）兴趣小组在探究学习时，在中，作出中线、，与交于点，如图②，得到．请同学们结合所学证明这一结论．
（3）兴趣小组在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图③，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，则一定有．请结合所学证明这一结论．

10 . 【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是_________；
【解决问题】
（2）若，，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．