1 . 平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求矩形的面积．

2 . 【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．

设窗子的边框、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若（即点E到的距离为4）．
①与之间的距离为1m，求此时的面积；
②与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 　 　，通风口的最大面积是 　 　（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）

3 . 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．

4 . 如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为竖直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为L图形，记作L图形ABCDEF．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF，矩形GBCD，这两个矩形的对称中心，所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）．

【思考】如图3，直线是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ          （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】在L图形ABCDEF中，已知AB＝4，BC＝6．如图4，CD＝AF＝1
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为         ．

5 . 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．

6 . 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝7，AD＝4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE＝AB，连接DE，则△ADE的面积为 ___．

8 . 如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　）

A．6

B．12

C．24

D．48

9 . 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝17，BD＝30，则四边形ADEC的面积为　 　平方单位．

10 . 在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．