名校
1 . 【问题发现】
(1)如图1所示,和均为正三角形,B、D、E三点共线.猜想线段,之间的数量关系为 ; ;
【类比探究】
(2)如图2所示,和均为等腰直角三角形,,,,B、D、E三点共线,线段、交于点F.此时,线段,之间的数量关系是什么?请写出证明过程并求出的度数;
【拓展延伸】
(3)如图3所示,在中,,,, 为的中位线,将绕点A顺时针方向旋转,当所在直线经过点B时,请直接写出的长.
(1)如图1所示,和均为正三角形,B、D、E三点共线.猜想线段,之间的数量关系为 ; ;
【类比探究】
(2)如图2所示,和均为等腰直角三角形,,,,B、D、E三点共线,线段、交于点F.此时,线段,之间的数量关系是什么?请写出证明过程并求出的度数;
【拓展延伸】
(3)如图3所示,在中,,,, 为的中位线,将绕点A顺时针方向旋转,当所在直线经过点B时,请直接写出的长.
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2024-03-24更新
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494次组卷
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19卷引用:2023年贵州省遵义市第十二中学九年级下学期第一次模拟数学试题
2023年贵州省遵义市第十二中学九年级下学期第一次模拟数学试题2023年山东省济南市历城区中考二模数学试题2023年山东省泰安市泰山博文中学二模数学试题2023年广东省广州市白云区华赋学校中考二模数学试题2023年山东省济南市章丘区博雅新世纪实验学校中考三模数学试题2024年山东省青岛市中考数学一模模拟试题2023年山东省济南市章丘区新世纪博雅实验学校中考数学三模模拟试题2024年河南省中考数学复习模拟试题(九)2024年广西中考数学一模模拟预测题山东省济南市历下区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题广东省深圳市龙岗区翠枫学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题广东省深圳市龙岗区塘坑学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题(已下线)2023年广州等市二模(几何综合)(已下线)2023年济南二模(几何综合)河北省石家庄市2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题山东省青岛市市南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题河南省驻马店市新蔡县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题山东省济南市历下区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(已下线)2024年四川省成都市中考数学真题变式题24-26题
2 . 定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线.
【问题探究】
(1)如图1,已知在正方形网格中,请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D,使四边形是以为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹,找出1个即可);
【问题解决】
(2)如图2,在四边形中,,,对角线平分,求证:是四边形的“相似对角线”;
【拓展应用】
(3)如图3,已知是四边形 “相似对角线”, ,连接,若的面积为,求的长.
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3 . 在中,于点D,点P为射线上任一点(点B除外)连接,将线段绕点P顺时针方向旋转,,得到,连接.(1)(观察发现)如图1,当,且时,与的数量关系是 .
(2)(猜想证明)如图2,当,且时,(1)中的结论是否成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.(请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理).
(3)(拓展探究)在(2)的条件下,若,,请直接写出的长.
(2)(猜想证明)如图2,当,且时,(1)中的结论是否成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.(请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理).
(3)(拓展探究)在(2)的条件下,若,,请直接写出的长.
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2024-03-21更新
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133次组卷
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2卷引用:2024年山东省青岛市中考数学模拟预测题
4 . 综合与实践
【问题情境】
数学实践课上,同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究.小智同学首先制作了一个正方形纸片,然后将等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合,当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转时,直线分别交射线于点,探究线段和的数量关系:
【特例猜想】
(1)如图1,小智发现,当三角板旋转到点和点重合时,线段和的数量关系为______.
【数学思考】
(2)小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论:线段和的数量关系恒成立.小智的结论是否正确?若正确,请你仅就图2的情形进行证明;若不正确,请说明理由.
【拓展探究】
(3)在旋转过程中,当正方形的边长为,的面积也为6时,请直接写出的面积.
【问题情境】
数学实践课上,同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究.小智同学首先制作了一个正方形纸片,然后将等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合,当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转时,直线分别交射线于点,探究线段和的数量关系:
【特例猜想】
(1)如图1,小智发现,当三角板旋转到点和点重合时,线段和的数量关系为______.
【数学思考】
(2)小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论:线段和的数量关系恒成立.小智的结论是否正确?若正确,请你仅就图2的情形进行证明;若不正确,请说明理由.
【拓展探究】
(3)在旋转过程中,当正方形的边长为,的面积也为6时,请直接写出的面积.
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2024-03-12更新
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82次组卷
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2卷引用:2024年河南省南阳市桐柏县二模数学试题
5 . (1)【问题发现】
如图1,在中,,.将绕点B顺时针方向旋转,点A的对应点为点E,连接,则 .(2)【问题解决】
如图2,在中,,D为外一点,将绕点A按逆时针方向旋转,使点B与点C重合得,若,,探究线段与之间的数量关系,并证明你的结论;(3)【拓展延伸】
如图3,在四边形中,,垂足为C,,,,,请用含k的式子表示的长.
如图1,在中,,.将绕点B顺时针方向旋转,点A的对应点为点E,连接,则 .(2)【问题解决】
如图2,在中,,D为外一点,将绕点A按逆时针方向旋转,使点B与点C重合得,若,,探究线段与之间的数量关系,并证明你的结论;(3)【拓展延伸】
如图3,在四边形中,,垂足为C,,,,,请用含k的式子表示的长.
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2024-01-26更新
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95次组卷
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2卷引用:2024年辽宁省中考一模后数学模拟练习卷(二)
名校
6 . 【综合与实践】
在一次综合实践活动课上,张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动.
【操作探究】
“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,对正方形进行了如下操作:
第1步:如图1所示,先将正方形纸片对折,使点A与点B重合,然后展开铺平,折痕为;
第2步:将边沿翻折到的位置;
第3步:延长交于点H,则点H为边的三等分点.
证明过程如下:连接,
∵正方形沿折叠,
∴① ,
又∵,
∴,
∴.
由题意可知E是的中点,设,则,
在中,可列方程:② ,(方程不要求化简)
解得:③ ,即H是边的三等分点.
“励志”小组对矩形纸片进行了如下操作:
第1步:如图2所示,先将矩形纸片对折,使点A与点B重合,然后展开铺平,折痕为;
第2步:再将矩形纸片沿对角线翻折,再展开铺平,折痕为,沿翻折得折痕交于点G;
第3步:过点G折叠矩形纸片,使折痕.【过程思考】
(1)“求知”小组的证明过程中,三个空所填的内容分别是①: ,②: ,③: ;
(2)“励志”小组经过上述操作,认为点M为边的三等分点,请你判断“励志”小组的结论是否正确,并说明理由.
【拓展提升】
(3)如图3,在菱形中,,E是上的一个三等分点,记点D关于的对称点为,射线与菱形的边交于点F,请直接写出的长.
在一次综合实践活动课上,张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动.
【操作探究】
“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,对正方形进行了如下操作:
第1步:如图1所示,先将正方形纸片对折,使点A与点B重合,然后展开铺平,折痕为;
第2步:将边沿翻折到的位置;
第3步:延长交于点H,则点H为边的三等分点.
证明过程如下:连接,
∵正方形沿折叠,
∴① ,
又∵,
∴,
∴.
由题意可知E是的中点,设,则,
在中,可列方程:② ,(方程不要求化简)
解得:③ ,即H是边的三等分点.
“励志”小组对矩形纸片进行了如下操作:
第1步:如图2所示,先将矩形纸片对折,使点A与点B重合,然后展开铺平,折痕为;
第2步:再将矩形纸片沿对角线翻折,再展开铺平,折痕为,沿翻折得折痕交于点G;
第3步:过点G折叠矩形纸片,使折痕.【过程思考】
(1)“求知”小组的证明过程中,三个空所填的内容分别是①: ,②: ,③: ;
(2)“励志”小组经过上述操作,认为点M为边的三等分点,请你判断“励志”小组的结论是否正确,并说明理由.
【拓展提升】
(3)如图3,在菱形中,,E是上的一个三等分点,记点D关于的对称点为,射线与菱形的边交于点F,请直接写出的长.
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昨日更新
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162次组卷
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2卷引用:2024年河南省洛阳市中招模拟考试(二)数学试题
7 . 已知正方形,将边绕点A顺时针旋转α至线段的角平分线所在直线与直线相交于点F.
(1)如图1,当α为锐角时,请先用“尺规作图”作出的角平分线(保留作图痕迹,不写作法),再依题意补全图形,求证:;
【深入探究】
(2)在(1)的条件下,
①的度数为 ;
②连接,猜想线段和之间的数量关系,并证明;
【拓展思考】
(3)若正方形的边长,当以点C,F,D,E为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出线段的长度.
【探索发现】
(1)如图1,当α为锐角时,请先用“尺规作图”作出的角平分线(保留作图痕迹,不写作法),再依题意补全图形,求证:;
【深入探究】
(2)在(1)的条件下,
①的度数为 ;
②连接,猜想线段和之间的数量关系,并证明;
【拓展思考】
(3)若正方形的边长,当以点C,F,D,E为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出线段的长度.
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8 . 如图1,中,点E、F分别在边上,连接交于点G,.
(1)先将问题特殊化,如图2,当时,求证:;
(2)再探究一般情形,如图1,证明(1)中结论仍然成立;
问题拓展
(3)如图3,当时,,F为中点,直接写出的值(用含n的式子表示).
(1)先将问题特殊化,如图2,当时,求证:;
(2)再探究一般情形,如图1,证明(1)中结论仍然成立;
问题拓展
(3)如图3,当时,,F为中点,直接写出的值(用含n的式子表示).
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9 . 综合与实践
【问题发现】(1)如图1,在正方形中,E为对角线上的动点,过点B作的垂线,过点C作的垂线,两条垂线交于点F,连接,
①求证:.
②当正方形的边长为,时,则__________.【类比探究】(2)如图2,在矩形中,E为对角线上的动点,过点B作的垂线,过点C作的垂线,两条垂线交于点F,且,连接,求的值.
【拓展延伸】(3)如图3,在(2)的条件下,将E改为直线上的动点,其余条件不变,取线段的中点M,连接.若,则当是直角三角形时,请直接写出线段的长.
【问题发现】(1)如图1,在正方形中,E为对角线上的动点,过点B作的垂线,过点C作的垂线,两条垂线交于点F,连接,
①求证:.
②当正方形的边长为,时,则__________.【类比探究】(2)如图2,在矩形中,E为对角线上的动点,过点B作的垂线,过点C作的垂线,两条垂线交于点F,且,连接,求的值.
【拓展延伸】(3)如图3,在(2)的条件下,将E改为直线上的动点,其余条件不变,取线段的中点M,连接.若,则当是直角三角形时,请直接写出线段的长.
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10 . (1)【问题发现】如图,矩形与矩形相似,且矩形的两边分别在矩形的边和上,连接.
①线段与的数量关系为__________;②直线与所夹锐角的度数为__________;
(2)【类比探究】如图,将矩形绕点逆时针旋转,其它条件不变.在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立,请利用图进行说理.
(3)【知识迁移】如图,当矩形的边时,点为线段上异于,的一点,以为边作正方形,点为正方形的中心,连接,若,,直接写出的长__________.
(4)【拓展应用】如图,在矩形中,,,点时直线上一动点,连接、,直接写出的取值范围__________.(用含有、的代数式表示,可以不化简)
①线段与的数量关系为__________;②直线与所夹锐角的度数为__________;
(2)【类比探究】如图,将矩形绕点逆时针旋转,其它条件不变.在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立,请利用图进行说理.
(3)【知识迁移】如图,当矩形的边时,点为线段上异于,的一点,以为边作正方形,点为正方形的中心,连接,若,,直接写出的长__________.
(4)【拓展应用】如图,在矩形中,,,点时直线上一动点,连接、,直接写出的取值范围__________.(用含有、的代数式表示,可以不化简)
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