3 . 综合实践
菱形中，点在对角线上，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角，连接．

【问题发现】
（1）如图，当点与点重合时，线段、、之间的数量关系为              ．
【类比探究】
（2）如图，当点在边上时，时，求证：
【拓展延伸】
（3）如图，点在延长线上，为中点，当，，时，设求与之间的数量关系．

4 . 和都是等腰三角形，，直线，交于点．

图1                                        图2                                图3

(1)特例发现
如图1，，，在一条直线上，当时，填空：的值是_________，_________．
(2)类比探究
如图2，当时，探究的值（用含m的式子表示）及的度数（用含的式子表示），并就图2的情形写出探究过程．
(3)拓展运用
如图3，当时；若点，，在一条直线上，延长与边，分别交于点，，且是的中点，，直接写出的长．

7 . 【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点E是上一点，连接，过点A作于F，交于点G．

   

(1)【特例证明】如图1，当时，求证：；
(2)【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展运用】如图3，连接，若，，求的长．

8 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形与矩形相似，其中，，点E、F在直线上，且点C、D、G、H在直线的同侧，矩形沿直线左右平移，O为的中点，直线与直线相交于点P（点P、D不重合），直线与直线相交于点Q（点Q、C不重合），试探究与之间的数量关系．

【操作判断】
（1）如图1，平移矩形，当，点A、E重合时，线段与之间的数量关系是               ；
【迁移探究】
（2）继续平移矩形，对任意正数k，（1）中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若，，，平移矩形，连接交于点M，当是直角三角形时，请直接写出OA的长．

9 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．

（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．

10 . 【问题情境】
如图，在四边形中，，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转，且长度变为原来的倍，得到线段，作直线交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图，小明发现：“当，时，点与点恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证，得到与的数量关系是              ，的值是           ；
（2）如图，小华发现：“当，时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出的值及的定值．