1 . 已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且，求O到直线MN的距离．

2 . 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.

3 . 已知O为坐标原点，为双曲线上一点，斜率存在的直线l与C交于两点P，Q（点P，Q不与B重合）．
(1)求点B到双曲线C的两条渐近线的距离之和；
(2)若直线BP，BQ的倾斜角之和为180°，的面积为，求直线l的方程．

4 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，．
(1)若点，在双曲线C上，求C的方程；
(2)若点P为双曲线C右支上一点，I为的内心，且，过原点O作PI的平行线交于点K，求证：，且点I的横坐标等于PK的长．

5 . 在平面直角坐标系中，双曲线的焦点到渐近线的距离为，焦距为.

(1)求的方程；
(2)如图，点为双曲线的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交双曲线于两点，直线分别与交于两点，若，求点的坐标.

6 . 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；
(3)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.

7 . 已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.

(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.

8 . 如图，双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为.

(1)求双曲线的方程；
(2)若为垂直于轴的动弦，点，直线与交于点.
（i）求证：点恒在双曲线上；
（ii）若和在双曲线的同一支上，请直接写出面积的最小值，无需书写过程.

9 . 双曲线的离心率为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过直线上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线于A，B两点，证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F．

10 . 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，离心率为3，点在上．
(1)求的标准方程；
(2)已知直线过的右焦点且与的左，右两支分别交于，两点，点是的平分线上一动点，且，求的面积．