1 . 双曲线
：
，已知
为坐标原点，
为双曲线上一动点，过作
、
分别垂直于两条渐近线，垂足为
、
，设
，
，
(1)求证：
(2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过分别作
、
平行于渐近线且与渐近线交于
、
两点，设
的面积为
，
的面积为
，求
的范围．
：，已知为坐标原点，为双曲线上一动点，过作、分别垂直于两条渐近线，垂足为、，设，，(1)求证：
(2)若双曲线实轴长为4，虚轴长为2，过
分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点，设的面积为，的面积为，求的范围．
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2 . 若双曲线
的一条渐近线为
，右焦点
到直线
的距离为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过焦点的直线
与双曲线的右支相交于，两点（不重合），
（i）求直线的倾斜角的取值范围；
（ii）在
轴上是否存在定点，使得直线
和
的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.
的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为.(1)求双曲线
的方程；(2)设过焦点
的直线与双曲线的右支相交于，两点（不重合），（i）求直线
的倾斜角的取值范围；（ii）在
轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.
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3 . 在平面直角坐标系
中，已知双曲线的左顶点为，离心率为
，焦点到渐近线的距离为2.直线过点
，且垂直于轴，过的直线
交的两支于
两点，直线
分别交于
两点.
(1)求的方程；
(2)设直线
的斜率分别为
，若
，求点的坐标.
中，已知双曲线的左顶点为，离心率为，焦点到渐近线的距离为2.直线过点，且垂直于轴，过的直线交的两支于两点，直线分别交于两点.(1)求
的方程；(2)设直线
的斜率分别为，若，求点的坐标.
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4 . 已知双曲线与双曲线
有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知
为上任意一点，求
的最小值；
(2)已知动直线
与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线
与两坐标轴分别交于
.设点
.
（i）求点
的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为
，动直线方程为
，请直接写出点的轨迹方程.
与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.(1)已知
为上任意一点，求的最小值；(2)已知动直线
与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.（i）求点
的轨迹方程；（ii）若对于一般情形，曲线
方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
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2023·全国·模拟预测
5 . 已知双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为
，实半轴长为
，过右焦点
的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为
，
的面积为
．
(1)①
；
②以为圆心，
为直径的圆与直线
所截得的弦长为2；
③
．
从上面三个条件选择一个条件进行解答，当最大时，求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左、右顶点分别为
，在（1）的条件下，过点的直线与双曲线右支交于点，过点的直线
与双曲线左支交于点
，
，设
，
的面积分别为
，求
的值．
，左、右焦点分别为，实半轴长为，过右焦点的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为，的面积为．(1)①
；②以
为圆心，为直径的圆与直线所截得的弦长为2；③
．从上面三个条件选择一个条件进行解答，当
最大时，求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左、右顶点分别为
，在（1）的条件下，过点的直线与双曲线右支交于点，过点的直线与双曲线左支交于点，，设，的面积分别为，求的值．
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名校
解题方法
6 . 求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在轴上，焦距为10，
；
(2)渐近线方程是
，虚轴长为4.
(1)顶点在
轴上，焦距为10，；(2)渐近线方程是
，虚轴长为4.
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名校
解题方法
7 . （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为
，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为
，虚轴长为4，求双曲线的标准方程.
，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为
，虚轴长为4，求双曲线的标准方程.
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2023-12-20更新
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662次组卷
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3卷引用：河北省衡水市桃城区衡水市第二中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题
8 . 已知双曲线
的中心为坐标原点，左，右焦点分别为
，，且点
在双曲线
上．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)点是直线
上一点，点是双曲线上一点，且满足
，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试证：
为定值．
的中心为坐标原点，左，右焦点分别为，，且点在双曲线上．(1)求双曲线
的渐近线方程；(2)点
是直线上一点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，试证：为定值．
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9 . 已知椭圆
：
的左右焦点分别是双曲线
：
的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，直线：
与椭圆在第二象限交于点，若直线
，且与椭圆交于两点，直线
，
与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为
，
，求证：
为定值．
：的左右焦点分别是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．(1)求椭圆
的方程；(2)如图所示，直线
：与椭圆在第二象限交于点，若直线，且与椭圆交于两点，直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为，，求证：为定值．
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10 . 已知双曲线的一条渐近线为
，且双曲线的虚轴长为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)记为坐标原点，过点
且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点
，求
的面积.
的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为.(1)求双曲线
的方程；(2)记
为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，求的面积.
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2023-12-08更新
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493次组卷
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2卷引用：上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期阶段性学业水平检测2（暨拓展考试6）数学试题
